Funktion f(x) = xe2x. Dazu n-te Ableitung mit Induktion zeigen, Taylorreihen, Entwicklungspunkte, max. Fehler

Question

Gegeben sei die Funktion

$f(x)=x e^{2 x}$

(a) Leiten Sie eine Formel für die $n$-te Ableitung von $f$ für beliebiges $n \in \mathbb{N}$ her, und beweisen Sie diese mit vollständiger Induktion.

(b) Geben Sie die Taylorreihen $T(x)$ zu $f$ um die Entwicklungspunkte $x_{0}=0$ bzw. $x_{0}=1$ an. Für welche $x \in \mathbb{R}$ konvergieren die Taylorreihen?

(c) Nach Definition $7.42$ und Satz $7.44$ aus der Vorlesung existiert zu einer $(n+1)$-mal stetig differenzierbaren Funktion $f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ und $x_{0}, x \in[a, b]$ ein $c \in\left(x_{0}, x\right)$ (falls $x_{0}<x$ bzw. $c \in\left(x, x_{0}\right)$, falls $x_{0}>x$ ) mit

$f(x)=\underbrace{\sum \limits_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}\left(x_{0}\right)}{k !}\left(x-x_{0}\right)^{k}}_{=: T_{n}\left(x_{0}, x\right)}+\underbrace{\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1) !}\left(x-x_{0}\right)^{n+1}}_{=: R_{n}\left(x_{0}, x\right)}$

Geben Sie das Taylorpolynom $T_{3}\left(x_{0}, x\right)$ dritten Grades zu $f$ um den Entwicklungspunkt $x_{0}=0$ bzw. um $x_{0}=1$ an. Schätzen Sie (rechnerisch) jeweils das Restglied $R_{3}\left(x_{0}, x\right)$ für $x \in[-1,2]$ betragsmäßig nach oben ab. Schätzen Sie dazu $\left|f^{(4)}(c)\right|$ und $\left|\left(x-x_{0}\right)^{4}\right|$ für $x \in[-1,2]$ nach oben ab.

(d) Berechnen Sie den maximalen Fehler $f(x)-T_{3}\left(x_{0}, x\right)$ für $x \in[-1,2]$ numerisch, indem Sie die Funktion $\max \left(\left|f(x)-T_{3}\left(x_{0}, x\right)\right|\right)$ für $x_{0}=0$ bzw. $x_{0}=1$ jeweils auf einem sehr feinen Gitter auswerten. Vergleichen Sie mit den Ergebnissen aus Aufgabenteil (c).

Comments

$f(x)=xe^{2x}$. Vermutung für die $n$-te Ableitung: $f^{(n)}(x)=2^{n-1}(2x+n)e^{2x}$.

---

Für den Teil c) finde ich keine Abschätzung. Selbst mit f⁴(c) < 50x*e^2x stimmt dies für x<1 nicht.

Kann da jemand mal einen Lösungsweg skizzieren?