Bestimmung von Reihen in C:

Question

ich hab eine kleine Frage zu Rheien in C und zwar : $$\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \sum _{ k=0 }^{ n }{ { (-1) }^{ k }\frac { { (2i) }^{ 2k } }{ (2k)! }  }  } $$

In R wäre das ja kein Problem da würde ich das mit dem Leibniz-Kriterium angehen, nur wenn ich dass richtig verstanden habe besitzen wir in C keine Ordnung sprich ich kann die Monotonie ja gar nicht feststellen sprich die gibt es gar nicht. Gibt es in C eine ähnliche Variante wie das LK um die Konvergenz zubestimmen ?

ps: erste mal in meinem Leben das ich mit komplexen Zahlen zu tun habe .

Comments

Mir ist gerade noch eine Idee gekommen : Was wäre dein wenn ich den Zähler auseinander ziehen würde in 2^2k und i^2k wäre dass i^2k nicht dann -1^k und dann wäre ja der grenzwert eine exp Funktion quasi -e^4 und +e^4 oder nicht ?

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ne das war blöd dass müsste im Zähler natürlich heißen (-4)^k und dann wären die Grenzwerte e^{-4} und -e^{-4} oder nicht ?

Answer 1

wie du siehst ist das ganze gar nicht so schlimm und komplex. Aber:

$$ (-1)^k \cdot (2i)^{2k} = (-1)^k \cdot (-4)^k = 4^k $$
Gruß

Comments

Gut das -1^k  noch reinzuziehen ist eine super Idee , aber mein Problem ist es den Wert zu bestimmen erst dachte ich schon man könne es dann als e^4/2 beschreiben wegen der (2k)! aber dass geht ja auch nicht auf, meine nächste Idee war es anhand der Potenzreihendarstellung von cosh zu machen $$\sum _{ n\rightarrow \infty  }^{ \infty  }{ \frac { { x }^{ 2n } }{ (2n)! }  } $$ aber da bin ich mir nicht sicher wäre mein Wert dann :$$\frac { { e }^{ s }+{ e }^{ -2 } }{ 2 } $$ wegen dem x^{2n} im zähler ?

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Das mit cosh ist genau der richtige Gedanke. Die Reihe fängt aber bei n=0 an. Und du kommst auf \(\cosh(2)\) als Wert der Reihe. (Auch ohne Kenntnis über cosh kann man nur mit der puren Reihendefinition von der E-Funktion auf das Ergebnis kommen).

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Top danke für die mühe