DGL: Trennung der Variablen oder Variation der Konstanten?

Question

und zwar hab ich die DGL: c'(t) = a/b *(c₁ - c(t))

Da die DGL inhomogen und linear 1. Ordnung ist (glaub ich jedenfalls), muss ich dann automatisch immer Variation der Konstanten machen?

Darf man Trennung der Variablen nur bei homogenen DGLen anwenden? Wenn ich jetzt von der obigen Gleichung ausgehe und das ausschließlich mit Trennung der Variablen löse, komm ich doch trotzdem auf eine Lösung. In dem Fall ja auch nicht schwierig zu integrieren.

Mit Variation der Konstanten (also zuerst T.d.V. der homogenen DGL und dann Variation) komm ich auf die Lösung:

c(t) = c₁ + u*exp(-a/b *t)    mit der Konstanten u

Direkt mit Trennung der Variablen der inhomogenen DGL komm ich auf:

c(t) = c₁ - r*exp(-a/b *t)    mit der Konstanten r

Das sind auch gleiche Lösungen (wahrscheinlich gilt u = -r)?

Answer 1

Grundsätzlich:

Folgende Struktur muß vorhanden sein:

Trennung der Variablen: y'=f(x) *g(y)

Variation der Konstanten : y' +A(x) *y=B(x)

Es gibt aber auch DGL(eher wenige) , die mit beiden Verfahren gelöst werden können,wie diese Aufgabe.

Du hast hier so eine erwischt.