Lineares Differentialgleichungssystem in Matrixschreibweise lösen?

Question

Ich soll folgende Aufgabe bearbeiten:

"Lösen sie das folgende lineare Differentialgleichungssystem:

$$ \frac { dx }{ dt } =y\quad ;\quad x(t=0)={ x }_{ 0 } $$

$$\frac { dy }{ dt } =x\quad ;\quad y(t=0)={ y }_{ 0 } $$

in Matrixschreibweise."

Leider habe ich keine Ahnung wie ich das mache. Mein Prof. hält die dazugehörigen Vorlesungen leider immer kurz bevor wir die Hausaufgaben abzugeben haben und da mir es dann immer zeitlich zu knapp wird, wollte ich fragen ob mir hier jemand auf die Sprünge helfen kann. Das was ich dazu bisher ergooglen konnte, hat mich leider nicht weiter gebracht.

Answer 1

Hallo.

Schau mal, das ist fast Deine Aufgabe:

http://www.mathepedia.de/Homogene_DGL_Systeme.aspx

Du mußt zum Schluß noch die AWB einsetzen.

Comments

Ich bin jetzt nach deinem Link vorgegangen...

$$\frac { dx }{ dt } =y$$

$$\frac { dy }{ dt } =x$$

also ist:

$$x'(t)=y$$

$$y'(t)=x$$

oder?

Also bekomme ich meine Matrix

$$ A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$

und das Polynom dazu:

$$f(\lambda )=(0-\lambda )(0-\lambda )-1\quad bzw.\quad f(\lambda )=\lambda ²-1$$

Lösung für die Eigenwerte ist also +/- 1

Aber daraus lässt sich kein Eigenvektor bestimmen, das ganze sieht dann so aus:

$${ \lambda  }_{ 1 }=\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

bzw.

$${ \lambda  }_{ 2 }=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Wo liegt mein Fehler, bzw. wie gehe ich jetzt weiter vor?

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Vielleicht kann mir hier ja noch einer weiterhelfen...

$${ \lambda  }_{ 1 }=\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$$

$${ \lambda  }_{ 2 }=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$

Sollen nach Wolfram Alpha die Eigenvektoren sein. Aber wie komme ich auf diese?