Funktionenschar fa(x) = (x + a)*e^{-x} untersuchen auf Nullstellen, Extrema und Wendepunkte

Question

Komplexe Aufgaben brauche Hilfe bitte- Die Aufgabe 21 a) bis e)  mit Rechenweg bitte .. ich wär Ihnen sehr dankbar ehrlich 

 

21. Gegeben ist die Funktionenschar f_a(x) = (x + a)*e^-x, a>0

a) Untersuchen Sie die Funktionenschar f auf Nullstellen, Extrema und Wendepunkte.

b) Zeichnen Sie den Graphen von f₂ für -2 ≤ x ≤ 3.

c) Untersuchen Sie das Verhalten von f₂ für x → -∞ und x → ∞-

d) Bestimmen Sie die Gleichung der Ortskurve der Extrema der Schar f_a.

e) Bestimmen Sie die Stammfunktion von f_a.

Answer 1

a ist eine Konstante. 

a) Nullstellen

(x+a) * e^{-x} hat eine Nullstelle, wenn mindestens einer der Faktoren = 0 ist. Der zweite Faktor ist immer größer als 0, also muss x+a = 0 gelten, und das ist offensichtlich gegeben für x = -a.

Für die Bestimmung der Extrema und Wendepunkte brauchen wir die Ableitungen. 

Produktregel: (u*v)' = u' * v + u * v'

u = x + a

u' = 1

v = e^{-x}

v' = -e^{-x}

Also ist f'(x) = 1 * e^{-x} + (x+a) * (-e^{-x}) = (1 - x - a) * e^{-x}

f'(x) = 0 für 1-x-a = 0, also für x = 1-a

 

f''(x)

u = 1-x-a

u' = -1

v = e^{-x}

v' = -e^{-x}

f''(x) = -1 * e^{-x} + (1-x-a) * (-(e^{-x}) = (-2+x+a) * e^{-x}

Setzen wir jetzt das x = 1-a aus der vorigen Rechnung ein, so erhalten wir: 

f''(1-a) = (-2 +1-a +a) * e^{-1+a} <0, da der erste Faktor = -1 und der zweite Faktor >0 ist. Also liegt an der Stelle

1-a ein Maximum vor!

(1-a müsste jetzt noch in die Ursprungsfunktion fa(x) eingesetzt werden, um den y-Wert zu bestimmen.)

 

Weil es so spät ist, nur noch Teil 

c)

Verhalten von 

f2(x) = (x+2) * e^{-x}

für x gegen -∞ und x gegen ∞

e^{-x} = 1/e^x

Setzt man jetzt ein sehr großes x ein (x gegen ∞), so nähert sich der Faktor 1/e^x schneller der 0 an, als sich (x+2) dem ∞ annähert, deshalb strebt die Funktion für x gegen ∞ gegen 0.

Der Taschenrechner errechnet für z.B. x = 9 folgenden y-Wert: 0,0013575078 

Setzt man ein sehr kleines x ein (x gegen -∞), so nähert sich 1/e^x schneller dem ∞ an, als sich (x+2) dem -∞ annähert, deshalb strebt die Funktion für x gegen -∞ auch gegen -∞.

TR: x = -9, y = -56721,587...

Comments

Oha vielen Danke ersteinmal ...  Könnten Sie mir vielleicht auch die Lösungen von d) und e) schreiben ?? Vielen dank

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e)

Ich habe noch kein rechtes Schema gefunden, wie man die Stammfunktion einer Funktion erhält, in der die e-Funktion vorkommt.

Deshalb habe ich die schon berechneten Ableitungen und die Ursprungsfunktion fa(x) untereinander

geschrieben, um eine Regelhaftigkeit festzustellen:
fa''(x) = (-2+x+a) * e^{-x}

fa'(x) = (1-x-a) * e^{-x}

fa(x) = (x+a) * e^{-x}

Deshalb vermutete ich, dass gilt:
Fa(x) = (-1-x-a) * e^{-x}

Und so ist es :-)

Bitte einmal selbst ableiten, um die Richtigkeit zu überprüfen: Fa'(x) = fa(x)


d)

Gleichung der Ortskurve der Extrema der Schar fa:

Das Maximum von f1(x) liegt bei x = 1-1 = 0, f1(0) = 1, also bei (0|1),

das Maximum von f2(x) bei x = 1-2 = -1, f2(-1) = e, also bei (-1|e)

das Maximum von f3(x) bei x = 1-3 = -2, f3(-2) = e^2, also bei (-2|e^2) etc.

Also lautet die Ortskurve
O = e^{-x}

(Ich bezweifle, dass diese Schreibweise formal korrekt ist, die Lösung als solche stimmt aber -
bitte einmal in einen Funktionsplotter
(x+1) * e^{-x}

(x+2) * e^{-x}

(x+3) * e^{-x}

und

e^{-x}

eingeben!)

Besten Gruß :-)