Aus wievielen Vektoren besteht eine Basis?

Question

die Frage steht ja schon oben. Aus wievielen Vektoren muss eine Basis mindestens bestehen? Wenn wir uns z.B. in ℝ³ befinden, kann dann eine Basis aus nur einem Vektor bestehen bzw. kann eine Basis generell aus nur einem Vektor bestehen, egal in welchem Raum?

Hoffe das weiß jemand.

Answer 1

Ein n-Dimensionaler Raum braucht mind. n Vektoren als Basis. Im R^3 brauchen wir also 3 linear unabhängige Vektoren. Das wären z.B. [1,0,0], [0,1,0] und [0,0,1].

Comments

Bei meiner Aufgabe haben wir den Raum ℝ⁴ und einen Untervektorraum, der von drei Vektoren erzeugt wird. Ich soll eine Basis des zu U orthogonalen UVR U^⊥ bestimmen. Die Basis hat dann also 4 Vektoren, obwohl U nur von drei Vektoren erzeugt wird, stimmt das so? Wie bestimme ich denn da die Basis? (ℝ⁴ mit Standardskalarprodukt). So wie ich dachte geht das dann anscheinend nicht, weil die Basis sonst nur einen Vektor hätte.

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Eine Basis des R^3 besteht aus 3 Vektoren. Ein Untervektorraum kann natürlich auch nur eine Basis aus einem Vektor haben. Du bist im R^4 und hast vermutlich einen Unterraum der dreidimensional ist, weil er von 3 Vektoren aufgespannt wird. Du kannst hier also vermutlich den Untervektorraum über einen 4. Vektor der zu den bisherigen Orthogonal sein soll zur Basis des R^4 machen. Das heißt es ist hier nur ein Richtungsvektor möglich.