Matrix einer Abbildung bezüglich einer Basis

Question

Aufgabe:

Finde die Matrix von $<,>R^{2} x R^{2} \longrightarrow R,\left(v, v^{\prime}\right) \mapsto v^{T}\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right) v^{\prime}$ bezüglich der Basis $\left(\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}2 \\ 1\end{array}\right)$.

Das Ergebnis sollte $B=\left(\begin{array}{cc}9 & 6 \\ 129\end{array}\right)$ sein, aber ich weiß nicht wie man das rechnet...

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Matrix einer Abbildung bezüglich einer Basis

Um die Matrix der gegebenen Bilinearform $<,>: \mathbb{R}^{2} \times \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R},\left(v, v^{\prime}\right) \mapsto v^{T}\left(\begin{array}{ll}1 & 2 0 & 1\end{array}\right) v^{\prime}$ bezüglich der Basis
$\left(\begin{array}{l}1 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}2 1\end{array}\right)$ zu finden, benötigen wir folgende Schritte:

1. Wir definieren zunächst die Basisvektoren:
$b_1 = \left(\begin{array}{l}1 2\end{array}\right)$ und $b_2 = \left(\begin{array}{l}2 1\end{array}\right)$.

2. Danach berechnen wir die Bilder dieser Basisvektoren unter der gegebenen Abbildung, indem wir jedes Paar von Basisvektoren einmal als $v$ und einmal als $v^{\prime}$ verwenden. Die Matrix $A = \left(\begin{array}{ll}1 & 2 0 & 1\end{array}\right)$ definiert die lineare Abbildung.

3. Die Einträge der Matrix $B$ der Abbildung bezüglich der Basis $\{b_1, b_2\}$ finden wir durch $b_i^T A b_j$, für $i, j = 1, 2$.

Berechnungen:

- Für $B_{11}$ (erste Zeile, erste Spalte):
$B_{11} = b_1^T A b_1 = \left(\begin{array}{ll}1 & 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}1 & 2 0 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}1 2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ll}1 & 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}5 2\end{array}\right) = 1\cdot5 + 2\cdot2 = 9$

- Für $B_{12}$ (erste Zeile, zweite Spalte):
$B_{12} = b_1^T A b_2 = \left(\begin{array}{ll}1 & 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}1 & 2 0 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}2 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ll}1 & 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}4 1\end{array}\right) = 1\cdot4 + 2\cdot1 = 6$

- Für $B_{21}$ (zweite Zeile, erste Spalte):
$B_{21} = b_2^T A b_1 = \left(\begin{array}{ll}2 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}1 & 2 0 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}1 2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ll}2 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}5 2\end{array}\right) = 2\cdot5 + 1\cdot2 = 12$

Die Berechnung für $B_{21}$ wurde offensichtlich falsch angegeben, da $B_{21}$ tatsächlich $12$ und nicht $129$ ist. Da wir jedoch nur ein Ergebnis für $B_{11}, B_{12}$, und $B_{21}$ erhalten haben und für eine vollständige 2x2 Matrix vier Einträge benötigen, fehlt uns noch $B_{22}$. Die korrekte Berechnung von $B_{22}$ ist wie folgt:

- Für $B_{22}$ (zweite Zeile, zweite Spalte):
$B_{22} = b_2^T A b_2 = \left(\begin{array}{ll}2 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}1 & 2 0 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}2 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ll}2 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}4 1\end{array}\right) = 2\cdot4 + 1\cdot1 = 9$

Also ist die korrekte Matrix $B$ der Abbildung bezüglich der gegebenen Basis:
$B = \left(\begin{array}{cc}9 & 6 12 & 9\end{array}\right)$

Dies berichtigt den ursprünglichen Fehler in der Annahme für $B_{21}$ und komplettiert die Matrix mit dem richtigen Wert für $B_{22}$.