ist dies eine lösung der differentialgleichung?

Question

Hallo Forenten,

gefragt wird, ob (2) eine Lösung von (1) darstellt.

Mein Ansatz hierzu ist, (2) abzuleiten und mit (1) gleichzusetzen,

- kann man das so machen?

und vielleicht hätte jemand Lust, dies für mich zum Vergleich zu rechnen? :)

(nach meiner Rechnung wäre es keine Lösung der DGL)

schönen Abend wünsche ich!

Answer 1

es kommt mir nicht so vor, als würde (2) eine Lösung für (1) sein.

Die Differentialgleichung $u' = \lambda(1-u) - \mu u$ lässt sich folgenderweise in eine Normalform bringen:

$u' = \lambda - (\lambda + \mu) u$

oder

$u' + (\lambda + \mu) u = \lambda$.

Dies ist eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten.

Ein Ansatz für die homogene Lösung ist

$u_H = A \exp(-(\lambda + \mu)t)$.

Eine partikuläre Lösung erreicht man durch die konstante Funktion

$u_P = \frac{\lambda}{\lambda+\mu}$.

Die Gesamtlösungmenge ist nun parametrisiert über $A$ gegeben durch

$u = u_H + u_P = A \exp(-(\lambda + \mu)t) + \frac{\lambda}{\lambda + \mu}$.

Alles, was jetzt noch fehlt, ist der konkrete Lösungsweg :)

Schöne Grüße

Mister

Comments

okay, dann scheine ich richtig zu liegen.

danke :)

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Bitte, jetzt bitte noch Sternchen und Daumen hoch :)

Answer 2

Du möchtest (2) ableiten und für du/dt, also die linke Seite von (1) einsetzen? Ja, das ist soweit richtig. Allerdings musst du auf der rechten Seite dann natürlich auch dein u einsetzen. Dann schauen ob beide Seiten gleich sind. Falls ja, ist (2) eine Lösung von (1).