Was Du da aufgeschrieben hast, ist Bloedsinn. Bei den Grenzen des inneren Integrals sagst Du, es geht nach \(\varphi\), und hintendran steht aber \(dr\), also nach \(r\) integrieren. Dir ist wohl nicht klar, dass das iterierte Integrale sind, d.h. $$\int_{\varphi=0}^{2\pi}\left[\int_{\vartheta=0}^\pi\left[\int_{r=0}^R r^2\sin\vartheta\,dr\right]d\vartheta\right]d\varphi$$ ist gemeint!
