Exponentialgleichung, die ich einfach nicht gelöst bekomme. 5^{X-1} - 2^X = 1 + 4^{X - 1} .

Question

Die Aufgabe wehrt sich meinen Angriffen....5^X-1 - 2^X = 1 + 4^{X - 1}

  ...Andrea

Answer 1

Hallo Andrea,

5^X-1 - 2^X = 1 + 4^{X - 1}  ⇔  5^X-1 - 2^X  - 1 - 4^{X - 1}  = 0

diese Gleichung kann man wohl nicht explizit nach x auflösen:

Man benutzt meist ein numerisches Näherungsverfahren zum Auffinden der Nullstellen einer Funktion  [Hier:   f(x) = 5^X-1 - 2^X  - 1 - 4^{X - 1} ] , zum Beispiel das

Newtonverfahren:

Ausgehend von einem (möglichst guten) Starwert, den man z.B zwischen zwei x-Werten findet, deren Funktionswerte verschiedenes Vorzeichen haben, findet man immer bessere Werte mit der Formel

x_neu =  x_alt - f(x_alt) / f ' (x_alt)            

Die besten Startwerte findet man natürlich mit einem Plotter:

Hier z.B   x = 3   

[ Edit: x=3 ist sogar die genaue Lösung, vgl. Kommentare. Würde man natürlich beim NV beim ersten Schritt auch merken: x_neu = x_alt = 3 ]

Infos dazu findest du hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren

Gruß Wolfgang

Comments

Irgendwie habe ich den Eindruck 3 ist eine Lösung...

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wenn man mit dem Plotter x ≈ 3 gefunden hat, stellt man tatsächlich fest, dass x=3 eine genaue Lösung ist.

@Koffi: Hast du auch eine Idee, wie man die Gleichung explizit nach x auflöst?

(Probieren kann es ja wohl nicht sein :-), außerdem könnte man dann wiederum nur dem Plotterbild entnemen, dass es die einzige Lösung ist)

@Andrea: Möglicherweise hat der Aufgabensteller die Potenzen ausgerechnet, dann rechts das fehlende +1 eingefügt und sich keine Gedanken darüber gemacht, wie man die Gleichung - ohne Probieren - nach x auflösen soll.

Aber vielleicht findet ja doch jemand ein explizites Lösungsverfahren?

Answer 2

5^X-1 - 2^X = 1 + 4^{X - 1}

^{5^x - 5*2^x = 5 + 5*4^{x-1}} 

^{4* 5^x - 20*2^x = 20 + 5*4^x}

4* 5^x - 20*2^x = 20 + 5*2^2x

^{4*5^x = 5*(2^x)^2 + 20*2^x + 20}

^{4*5^x = 5((2^x)^2 + 4*2^x + 4)} 

^{4*5^x = 5(2^x + 2)^2} 

So kommst du auf die "alternate form assuming X is positive" bei https://www.wolframalpha.com/input/?i=5%5E(X-1)+-+1+%3D++2%5E(2X-2)+%2B2%5EX

Dann einfach so probieren, dass links und rechts die gleichen Faktoren vorkommen.

4*5^x = 5(2^x + 2)^2 

Es dürfen somit in der Klammer nur eine 2 und Fünfen als Faktoren auftreten.

Bsp. x=0 ergibt 3 in der Klammer

x=1 ergibt 4 im Quadrat: zu viele 2er.

x=2 ergibt 3: 3er nicht erlaubt

x=3 ergibt 10 . könnte passen.

Kontrolle: 4*5^3 = 4*125 = 500 links

und 5*10^2= 500 rechts.

passt.