Bestimmung von alpha auf R

Question

ich habe ein Pron´blem mit einer Aufgabe, und zwar:

 

Also mir sind folgende Sachen aufgefallen bei dem vorderm Teil :

1. die Funktion ist stetig und diffbar

2.sie ist streng monoton wachsend (sprich alpha= 0 würde schonmal passen)

Ja und jetzt komme ich auch schon nicht mehr weiter... Meine Vermutung ist, dass man dass mit dem Mittelwertsatz lösen kann,den zuverstehen ist ja nocht so schwer nur bei der Anwendung hapert es noch ein wenig bei mir ....

Wäre cool wenn mir einer helfen könnte :)

Answer 1

hast du denn schonmal überlegt, ob die Funktion \(f(x) = 2x\ln(x)+\beta x \) eventuell ein globales Minimum besitzt ;).

Gruß

Comments

Also ich glaube du meinst dass so :

$$2x*\ln { (x)+\beta \ge -\alpha  } $$

und dann f(x) betrachtet:

$$2*\ln { (x)+2+\beta =0 } \\ \\ \ln { (x)=\beta *0,5 } \\ \\ x={ e }^{ \beta *0,5 }$$

und die zweite Ableitung ist ja :

f´´(x)=2/x  und das ist >0 da x∈(0,∞) sprich minimum, und dass müsste heißen,  dass der kleinste wert für α= -e^{β*0,5} und da es streng monoton steigend ist geht α bis +unendlich ?

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Nein, jedenfalls nicht ganz.
Ich meinte: Falls \(f(x)\) ein globales Minimum bei \(x_m\) besitzt, dann gilt deine Ungleichung für alle \( \alpha \geq -f(x_m)\).
Du hast 1. \(x_m\) falsch bestimmt und 2. Nicht das globale Minimum, dass die Funktion annimmt untersucht.

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Achso das mit der Ungleichung hatte ich übersehen , dass ich ja mal -1 rechne und dann das Ungleichungszeichen tausche.Aber ich verstehe nicht was dir an meinem Xm nicht gefällt , ein globales maximum liegt doch vor, wenn f(x)≥f(x0) und dan ich ja eine Logaritmus Funktion habe muss die ja steng monoton wachsend sein sprich wenn ich ein Minimum gefunden habe und mein Definitionsbereich bis plus unendlich geht gibt es doch auf jeden Fall keine anderen Extrema geschweige denn Minima.... oder täusche ich mich jetzt ?

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Du hast dich einfach schlichtweg verrechnet.

$$ f'(x) = 0 $$

$$ 2\ln(x) +2+\beta = 0 $$

$$ x_m = e^{-(\frac{\beta}{2}+1)} $$

Mit der zweiten Ableitung -> Minimum bei \(x_m\).

Dein Minimum ist aber nicht x_m selber, sondern natürich \(f(x_m)\)!

$$ f(x_m) = -2 e^{-(\frac{\beta}{2}+1)} $$

Verzeih ich hatte nen kleinen Fehler in dem letzten Kommentar, den ich korrigiert habe.

Da \(f(x_m) < 0 \) für alle \(\beta \in \mathbb{R} \), gilt deine Ungleichung also für \(\alpha \geq |f(x_m)| \).

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Ohh nein der Rechenfehler war dumm (peinlich).... Ja aber ich weiß jetzt was du meinst danke für die Hilfe