Für welches Polynom x ->p(x) von Grad 4 gilt limes

Question

"Für welches Polynom x ↦ p(x) von Grad 4 gilt \( lim_{x\to0} \frac{cos(x^2) - p(x)}{x^4} = 1" \)

Wir haben zuerst \( {p}_{4} (0) = 1 - \frac{1}{2} {x}^{2} \) ausgerechnet und für p(x) in die obige Formel eingesetzt, aber kriegen kein Ergebnis raus.

\( \lim_{x\to0}   \frac{cos(x^2) - (1 - \frac{1}{2} {x}^{2})}{x^4}\)

Da ein Polynom 4.Grades gesucht ist, haben wir noch \( \frac {1}{24} {x}^{4} \) an unser p(x) drangehangen und damit versucht weiter zu rechnen, aber richtig klappen wollte es auch nicht bzw. auf das gewünscht Ergebnis von 1 sind wir nicht gekommen.

Weiß einer vielleicht weiter ? Bzw. was machen wir falsch ?

Comments

Vielleicht \(\large p(x)=1-\frac32x^4\) ?

Answer 1

Ich würde mir überlegen

lim (x --> 0) (COS(x^2) - 1)/x^4 = - 1/2

Das ist vom Grenzwert 3/2 zu klein, daher

lim (x --> 0) (COS(x^2) - 1 + 3/2·x^4)/x^4 = - 1/2 + 3/2 = 1

p(x) = 1 - 3/2·x^4

Comments

Warum ersetzt du das pn einfach durch -1?

Und wie kommst du dann auf das 3/2?

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Es sollte klar sein dass

lim (x --> 0) (COS(x²))/x⁴ = unendlich

Also muss im Zähler mind eine - 1 stehen. Daher schreibe ich die erstmal hin und berechne den Grenzwert.

lim (x --> 0) (COS(x²) - 1)/x⁴ = - 1/2 

Nun ist die Frage was im Zähler noch stehen muss, damit der Grenzwert um 3/2 steigt.

Da 3/2 = 3/2*x^4/x^4 ist, sollte klar sein, dass im Zähler dann noch 3/2*x^4 stehen sollten.