Taylorpolynom von Grad 4, entwickelt an der Stelle x=0

Question

wie kann ich das Taylorpolynom vom Grad 4, entwickelt an der Stelle x=0 berechnen?

f(x)=exp(x²)-e^6x

..

Answer 1

Taylorpolynom von Grad 4, entwickelt an der Stelle x=0

Answer 2

exp(x) = e^x

Taylorpolynom  n-ten Grades zur Funktion f  im Entwicklungspunkt a:

T_nf(x,a) =  \(\sum\limits_{k=0}^{n} \) f^(k)(a) / k! · (x - a)^k 

n= 4, a = 0 (Entwicklungspunkt)

T₄f(x,0) = \(\sum\limits_{k=0}^{4} \) f^(k)(0) / k! · (x - 0)^k 

= f(0) + f '(0) · x +  f "(0) / 2 · x² + f '''(0) / 6 · x³ + f⁽⁴⁾(0) / 24 · x⁴   (#)

f(x) = exp(x²) - e^6x               →  f(0) = 0

f '(x) = 2·x·exp(x²⁾ - 6·e^6x            → f '(0) = -6

f "(x) = exp(x²) ·(4·x² + 2) - 36·e^6x       → f "(0) = -34

f '''(x) = 4·x·exp(x²) ·(2·x² + 3) - 216·e^6x       → f '''(0) = -216

f⁽⁴⁾ (x) =  4·exp(x²) ·(4·x⁴ + 12·x² + 3) - 1296·e^6x   →  f⁽⁴⁾(0) = -1284

Werte der Ableitungen  oben (#) einsetzen

T₄(x,0) = - 6x - 17x² - 36 · x³ - 107/2 · x⁴

Gruß Wolfgang

Answer 3

e^{x}=∑_k=0⁴ x^k/k!+O=1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24+ O

e^{6x}=1+6x+18x^2+36x^3+54x^4+O

Ableitungen von g(x)=e^{x^2}:

g^{0}(x)=e^{x^2} --> g^{0}(0)=1

g'(x)=2x*e^{x^2} -->g'(0)=0

g''(x)=2*e^{x^2}*(2x^2+1) --> g''(0)=2

g'''(x)=4*e^{x^2}*x*(2x^3+3) -->g'''(0)=0

g''''(x)=4*e^{x^2}*(4*x^4+12x^2+3) --> g''''(0)=12

---> e^{x^2}=1+x^2+x^4/2+O

--> f(x)=1+x^2+x^4/2-(1+6x+18x^2+36x^3+54x^4)=-6x-17x^2-36x^3-107/2x^4+O

(Das O steht für den Rest mit höheren Potenzen)