Grenzwerte von folgen berechnen

Question

Ich soll mit Hilfe von grenzwertsätzen die Grenzwerte einiger Funktionen berechnen .. Komme mit dem Thema aber leider überhaupt nicht klar und wäre sehr froh über schritt-für-schritt hilfen :(

1.) 7n²+7n-2n/(n+1)²

Hier habe ich bereits was gelöst. Ich habe n² rausgezogen, weggekürzt und bin so auf einen grenzwert von 7 gekommen.

2.) ((n⁴ - 4n²)ⁿ) * (n⁴ + 2n³)^-n

Hier habe ich leider nicht mal einen ansatz. Ich begreife leider noch nicht so ganz wie ich mit der n-Potenz umgehen soll. :-(

3.) (√3n⁴-n²) / (√7n⁶-3n⁴)
Hier habe ich den ansatz gehabt, jeweils im Zähler und Nenner die n⁶ auszuklammern, anschließend vor die Wurzel zu setzen und wegzukürzen, bis ich auf √0 / √7 raushatte und somit den grenzwert 0 ..

4.) 7n² - 6n + 3) / (n⁴  - n)
Hier wollte ich die n⁴ herausziehen, weiß aber anschließend nicht weiter. :-(

5.) e^n²-n / e^n²-4n
Und hier habe ich wieder gar keinen ansatz..

Würde mich über jede mögliche hilfe freuen!

Answer 1

Unter der Voraussetzung , das n->∞ geht habe ich mal 3 Aufgaben gerechnet

Eine wichtige Regel ist , jeweils im Zähler und Nenner die höchste Potenz auszuklammern.

Ansonsten benötigst Du Potenzgesetze zur Verieinfachung . (z.B. Aufgabe 5)

Answer 2

1.)

Sieh dir jeden Summanden einzeln an:

7n² wird für n→∞ unendlich

7n wird für n→∞ unendlich (aber langsamer als 7n²)

(-2n)/(n+1)² wird für n→∞ 0, da im Nenner die Potenz im Nenner größer als im Zähler ist.

Also ist der Grenzwert für ∞ unendlich.

Nun erneut das ganze für -∞:

7n² wird für n→-∞ unendlich

7n wird für n→-∞ negativ unendlich

(-2n)/(n+1)² wird für n→-∞ immer noch 0, da n² das - nicht interessiert

da 7n² eine höhere Potenz aufweist ist der Grenzwert auch für -∞ unendlich.

2.)

Du ziehst hierbei die Wurzel aus n. Dadurch bleibt:

(n⁴-4n²)/(n⁴+2n³)

Jetzt kannst du n² oben und unten rauskürzen (ist aber nicht nötig):

(n²-4)/(n²+2n)

Die beiden größten Potenzen sind gleich also teilst du deren Koeffizienten und du hast deinen Grenzwert, also die Zahlen vor n².

3.)

(√3n²-1)/(√7n⁴-3n²)

Diesmal ist die Potenz unten größer, d.h. der Wert im Nenner steigt viel schneller als der im Zähler, also ist der Grenzwert hier 0.

4.)

Dasselbe wie eben, Potenz im Nenner größer als im Zähler, also ist der Grenzwert 0.

5.)

Hier geht es um Potenzregeln. Teilt man eine Potenz mit derselben Basis durcheinander, subtrahiert man ihre Exponenten:

e^{n^2-n -n^2+4n} = e³ⁿ

Woraus folgt das für +∞ der Grenzwert ∞ ist und für -∞ der Grenzwert 0.

Ich hoffe ich konnte helfen :)