Drei Freunde möchten eine Bergtour unternehmen. Das streckenprofil kann über dem Intervall [0; 10] durch den Graphen der Funktion
f(x) = 0.025·(x - 4)^3·(x - 10) + 4
beschrieben werden. Dabei entspricht 1 Einheit auf der x-Achse 2 km und 1 Einheit auf der y-Achse 100 m.
a) In welcher Höhe startet die Bergtour und auf welcher endet sie?
f(0) = 20 --> 2000 m
f(10) = 4 --> 400 m
b) Wie weit liegen der Start- und der Endpunkt (horizontal) voneinander entfernt? Ist die tatsächlich gelaufene Strecke geringer oder größer?
10 - 0 = 10 --> 20 km
Die tatsächlich Gelaufene Strecke ist größer. 20 km wäre es wenn es nur eine gerade Strecke ohne Höhenunterschied wäre.
c) Wie groß ist das durchschnittliche Gefälle auf dem insgesamt betrachteten Streckenabschnitt?
(f(10) - f(0)) / (10 - 0) = -1.6 --> - 160 m / 2km --> - 80 m/km
d) Wie groß ist das durchschnittliche Gefälle auf den ersten 4 km?
(f(2) - f(0)) / (2 - 0) = - 7.2 --> - 720 m / 2km = - 360 m/km
e) Geben sie einen Kilometerpunkt an, an dem das genaue Gefälle positiv, negativ bzw. null ist.
f(1) < 0
f(4) = 0
f(8.5) = 0
f(9) > 0
f) Ermitteln Sie unter Verwendung der graphischen Methode das genaue Gefälle am Kilometerpunkt 4.
f'(4) ≈ 0
g) Berechnen Sie das genaue Gefälle am Kilometerpunkt 4.
f(x) = 0.025·(x - 4)^3·(x - 10) + 4
f'(x) = 0.075·(x - 4)^2·(x - 10) + 0.025·(x - 4)^3
f'(4) = 0
