Vollständige Induktion, Ausklammern

Question

Für n∈N mit n größer gleich 1 soll folgendes mit Induktion bewiesen werden:
∑ⁿ_k=1(2^k-1+3^k+1) = 1/2 * (2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺²-11). (IV)
IA: n->1  Für den Induktionsanfang geht das auf, die 1 eingesetzt ergibt auf beiden Seiten 10.Nun zum Induktionsschluss:IS: n->n+1 :∑ⁿ⁺¹_k=1 (2^k-1+3^k+1) = ∑ⁿ_k=1(2^k-1+3^k+1) + (2^n+1-1+3ⁿ⁺¹⁺¹)    -> n+1 wurde aus dem Summenzeichen gezogen
= 1/2 * (2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺²-11) +2ⁿ + 3 ⁿ⁺²          : Hier wurde IV eingesetzt. Soweit kam ich selbst auch.Aber hier kam ich nicht weiter und habe einen Blick in die Lösung geworfen:= 1/2 *(2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺²-11 + 2*2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺²)  Das hier wäre der nächste Schritt gewesen, jedoch ist es mit Schleierhaft wie man darauf kommt...Wäre nett wenn mir das jemand erklären könnte.Danke im Vorras und entschuldigt die  unübersichtliche Schreibweise.

Comments

Falls der lange Text zu abschreckend wirkt:

Es geht mir hauptsächlich darum wie man von

1/2 * (2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺²-11) +2ⁿ + 3 ⁿ⁺²

^auf

1/2 *(2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺²-11 + 2*2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺²)

kommt.

Answer 1

1/2 * (2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺²-11) + 2ⁿ + 3 ⁿ⁺²     

=  1/2 • (  2ⁿ⁺¹ + 3ⁿ⁺² - 11 + 2 • 2ⁿ +  2 • 3 ⁿ⁺²  )    

=  1/2 • ( 2ⁿ⁺¹ + 3 • 3ⁿ⁺²  - 11 + 2ⁿ⁺¹ )

= 1/2 • ( 2 • 2ⁿ⁺¹  +  3ⁿ⁺³  - 11 ) 

= 1/2 • ( 2ⁿ⁺²  +  3ⁿ⁺³  - 11 ) 

Gruß Wolfgang

Comments

Super, vielen Dank Wolfgang.

In dem man die beiden Werte hinten mit 2 multipliziert kann man sie in die Klammer die später durch 2 geteilt wird mir rein nehmen.

Daumen hoch!