Vollständige Induktion: Studenten in einem Raum nur Männer oder Frauen. Wo ist der Fehler?

Question

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heute im Mathe Kurs: vollständige Induktion. Das folgendes Beispiel irgendwie falsch ist, ist mir allein aus Realitätsgründen klar, trotzdem ist mir der genaue Fehler nicht wirklich ersichtlich:

Also vollständige Induktion:

∀n ∈ ℕ: Wenn im Hörsaal n Hörer sitzen, dann gibt es entweder nur Männer oder nur Frauen.

Beweis:

Induktionsstart: n = 1 ; Hier stimmt das. Eine Person ist entweder nur ein Mann oder nur eine Frau - Transvestiten und so sollen hier mal nicht betrachtet werden.

Induktionsschritt: Teile Menge auf (d.h. z.B. bei 300 Hörern, gilt die Voraussetzung ja für n, also auch für 299. Für n+1 gilt dann Induktionsstart.)

qed.

Wo ist hier also der Fehler im Denken?

Answer 1

dein Fehler ist, dass dein Induktionsschritt kein Induktionsschritt ist. Du folgerst aus H(300), dass H(300) gilt (H ist die zu beweisende Aussage).

Das heißt im Hörsaal sitzen 300 paarweise gleichgeschlechtliche Personen (z.B. Priesterseminar). Daraus folgt: Im Hörsaal sitzen 300 paarweise gleichgeschlechtliche Personen.

MfG

Mister

Answer 2

Der "Fehler" liegt in dem Satz "Teile Menge auf"

Wie willst Du sie aufteilen? Offenbar so, dass Du zwei n-elementige Mengen hast, deren Vereinigung die n+1-elementige Menge ergibt und deren Schnittmenge nicht leer ist.

Du darfst nicht einfach voraussetzen, dass es zwei verschiedene solcher Mengen gibt, sondern musst es beweisen.

Gibt es zwei n-elementige Teilmengen A, B einer n+1-elementigen Menge M, für die gilt:
die Schnittmenge ist nicht leer und die Vereinigungsmenge ergibt M.