Nullstellen und Extremstelle von F(x) = 1/6x^3 +2x,…

Question

Ich braeuchte hilfe bei folgenden aufgaben:

F(x) = 1/6x^3 +2x,
F(x) = x^3 -3x^3 +3x
F(x) = x^4 - 2x^3

Wie finde ich die nullstellen und extremalstellen raus?? Ich verstehs einfach nicht :( bitte schnelle und einfache erklaerung:/

Answer 1

um die nullstellen auszurechnen setzt du die funktion f(x)=0. zum ausrechnen der extrema setzt du als erstes die erste ableitung = 0 und daraufhin setzt du den wert für x in die 2. ableitung ein, wenn das ergebnis 0 ist hast du einen hochpunkt

Comments

kapierst du es :)

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irgendwie wurde nicht das gepostet was ich wollte. Ich weiss nicht warum. Auf jedden Fall wollte ich noch ergänzen dass ein negatives ergebnis bei der 2. ableitung zeigt dass ein hochpunkt vorliegt und ein positives ergebnis zeigt dass ein tiefpunkt vorliegt LG

Answer 2

Nullstellen: f(x) = 0

Extremalstellen:
f'(x) = 0 und f''(x) < 0, dann Maximum

f'(x) = 0 und f''(x) > 0, dann Minimum

f'(x) = 0 und f''(x) = 0, dann Sattelpunkt

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Hier kann man jeweils x oder sogar x^3 ausklammern:
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f(x) = 1/6*x^3 + 2*x = (1/6*x^2 + 2)*x

Ein Produkt ist dann 0, wenn zumindest einer der Faktoren = 0 ist.
Also haben wir schon eine Nullstelle bei x = 0

oder

1/6*x^2 + 2 = 0
x^2 + 12 = 0

x^2 = -12

Das ist im Reellen nicht lösbar. Die einzige Nullstelle liegt also bei x = 0

Extremalstellen: 1. Ableitung = 0, 2. Ableitung ≠ 0

1. Ableitung
f'(x) = 1/2*x^2 + 2 = 0

x^2 + 4 = 0

x^2 = -4

Im Reellen nicht lösbar. Keine Extremalstellen.
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f(x) = x^3 - 3*x^2 +3*x

= (x^2 - 3*x + 3) * x

Nullstelle natürlich bei x1 = 0

x^2 - 3*x + 3 = 0

x2 = 1,5 + Wurzel aus (2,25 - 3)

x3 = 1,5 - Wurzel aus (2,25 - 3)

Geht im Reellen nicht. Einzige Nullstelle x = 0


Extremalstellen:
f'(x) = 3*x^2 - 6*x + 3 = 0

x^2 - 2x + 1 = 0

x1 = 1 + Wurzel aus (1-1) = 1

x2 = 1 - Wurzel aus (1-1) = 1

f''(x) = 6x - 6

f''(1) = 6 - 6 = 0

Also keine Extremalstelle, sondern ein Sattelpunkt bei (1|1)

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f(x) = x^4 - 2*x^3

= (x-2)*x^3

Also Nullstellen bei x1 = 0 und x2 = 2


Extremalstellen:
f'(x) = 4*x^3 - 6*x^2 = 0

4*x^3 = 6*x^2

4*x = 6

x = 6/4 = 3/2

f''(x) = 12*x^2 - 12*x

f''(3/2) = 12*9/4 - 12*3/2 > 0, also Minimum an (3/2|f(3/2) = (3/2|-1,6875)

Comments

Achtung 

f'(x) = 0 und f''(x) = 0, dann Sattelpunkt

wird zwar so häufig von Lehrern erklärt ist aber im Grunde genommen falsch.

Beispiel:

f(x) = x^4
f'(x) = 4*x^3
f''(x) = 12*x^2

Nun ist erste und zweite Ableitung an der Stelle 0 mit Sicherheit null. Trotzdem haben wir dort keinen Sattelpunkt vorliegen.

Die hinreichende Bedingung lautet deswegen immer nur auf <> 0 und nicht auf = 0. Denn bei = 0 kann man keine Aussage treffen und müsste weiter untersuchen.

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Danke Mathecoach - Du bist mir über :-)

P.S.

Ich glaube, es reicht dann zum Sattelpunkt, wenn f'''(x) ≠ 0

- richtig?