Existenz des Grenzwertes der Reihe ( sqrt(k+1)-sqrt(k) ) / k beweisen

Question

ich suche nach einem Weg, die Existenz des Grenzwertes der Reihe

$$ \sum_{k=1}^{\infty}{\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{k}} $$

zu beweisen. Wie stelle ich das am besten an? Ich finde kein Kriterium, das ich anwenden kann.

Answer 1

Da hilft ein klassischer Trick:

Erweitern mit Hilfe der dritten binomischen Formel um die Wurzeln im Nenner loszuwerden und dann ausnutzen, dass ∑1/n^s divergiert falls s>1

Comments

Dankeschön, werde ich gleich versuchen! Eine Frage nebenbei, muss s dabei natürlich sein, oder geht auch jede andere reelle Zahl größer als 1? In der Vorlesung wurden nur die Fälle s=1 (konvergiert nicht) und s=2 (konvergiert) behandelt.

---

s darf reell sein, es darf sogar komplex sein (dann Re(s)>1)

https://de.wikipedia.org/wiki/Riemannsche_Vermutung

---

Danke für den Link und die Hilfe, hat funktioniert!

---

Für  s > 1  divergiert die Reihe nicht.

---

Richtig wäre "die Wurzeln im Zähler" und "konvergiert", aber ich wusste, was gemeint ist.