Relation (a, b) ∼ (c, d) :⇔ b = d auf Z x Z

Question

Hi,

ich soll zur Relation (a, b) ∼ (c, d) :⇔ b = d auf Z x Z folgendes zeigen:

a)Relation ist Äquivalenzrelation

b) Äquivalenzklasse von (1,1)

c) Repräsentantensystem angeben

Ich versteh allerdings die Relation nicht ganz; (1,2) steht in Relation zu (3,2) genau dann wenn b = d (2=2)? Oder wie soll ich das verstehen? :S

Answer 1

ja genau, 2 geordnete Paare gleicher Zahlen stehen hier in Relation, wenn ihr 2. Eintrag gleich ist.

Somit hast du richtig beobachtet, dass \((1,2) \sim (3,2)\) ist.

Gruß

Answer 2

die Klassen dieser Äquivalenzrelation kannst du jeweils als Menge aller rationalen Zahlen, also aller Brüche, verstehen, die gleichnamig (mit einem bestimmten Nenner) sind.

Die Äquivalenzklasse des Paares \( (1, 1) \) entspricht dabei allen Brüchen mit Nenner \( 1 \). Diese Menge lässt sich (im weitesten Sinne) als mit \( \mathbb{Z} \) identifiziert auffassen, also die Menge aller ganzen Zahlen.

Ein Repräsentantensystem entsteht durch die Menge aller Brüche, die im Zähler eine \( 1 \) haben und im Nenner ein Element aus \( \mathbb{Z} \):

\( \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} /R = \{ [(1, z)] : z \in \mathbb{Z} \} \),

wobei \( R \) die gegebene Äquivalenzrelation ist.

Mister