Basiswechsel, Standardbasisvektoren etc.

Question

wenn ich die Standardbasis und eine neue Basis habe und ich die Matrix ermittelt habe die die Standardbasisvektoren auf die neuen Basisvektoren abbildet, was muss ich tun um einen Punkt, dessen Koordinaten bezügl. Standardbasis gegeben sind in den neuen Basisvektoren auszudrücken?

Danke

Answer 1

Dann nimmst du die neue Matrix hoch -1 mal die Koordinanten des gegebenen Punktes

und erhältst damit die Koeffizienten, mit denen dieser Punkt in der neuen Basis dargestellt

wird.

Comments

Danke schonmal für die Antwort, so steht es auch in der Musterlösung, allerdings verstehe ich das nicht. Die Inverse der Matrix bildet ja die neuen Basisvektoren auf die Standardbasis ab. Wieso bildet sie dann einen Punkt der durch die Standardbasis angegeben wird auf den Punkt ab, der durch die neuen Vektoren ausgedrückt wird? Sind das nicht "entgegengesetzte Richtungen" von der Transformation her?

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wenn e1,e2,e3 die "alten" Basisvektoren sind und v1,v2,v3 die neuen, dann

hast du ja den Punkt durch die alten ausgedrückt, etwa so

p =  a1e1 + a2e2 + a3e3 

und wenn du Matrix M mal die rechte Seite nimmst

M * (   a1e1 + a2e2 + a3e3 )

=  a1*Me1 + a2Me2 + a3Me3    und M * ei gibt ja die neuen

= a1v1 + a2v2 + a3v3   Dann hast du also die gleichen Koordinaten wie vorher

nur hier auf die neue Basis bezogen.  Also brauchst du für die neuen

Koordinaten das umgekehrte.