Testen von Hypothesen- wie muss ich vorgehen?

Question

ich habe hier eine Aufgabe aber ich weiß nicht recht wie ich vorgehen soll: Madame Siwa,die von sich behauptet,eine begnadete Hellseherin zu sein,unterzieht sich einem Test.Es wird 100-mal eine Karte aus einem Saktspiel gezogen und Madame Siwa sagt jeweils voraus,ob eine Kreuz,-Pik-,Herz-oder Karo-Karte gezogen wird.Die Hypothese H0:p=0,25(normale Fähigkeiten) wird gegen H1:p>0,25 getestet.
a)Beschreiben Sie die Bedeutung eines Fehlers 1.Art bzw. eines Fehlers 2.Art.
b)Wie muss die Entscheidungsregel lauten,wenn der Fehler 1.Art unter 5% liegen soll?
c)Wie groß ist bei dieser Entscheidungsregel der Fehler 2.Art,wenn die Fähigkeiten von Madame Siwa so groß sind,dass ihre wahre Trefferquote bei 50% liegt?`

Ist zwar eine lange Aufgabe,aber ich verstehe sie leider nicht ganz,wäre jedem dankbar,der mal erklären würde wie das geht,da ich diese Woche noch eine Klausur schreibe,in der der so etwas dran kommen kann.Ich werde schauen,ob ich auch selber mit der Aufgabe weiter komme.

Answer 1

a)

Fehler 1. Art: Siwa werden Hellseherische Kräfte zugesprochen, obwohl sie gar keine Besitzt.

Fehler 2. Art: Die Hellseherischen Kräfte von Siwa werden leider nicht erkannt.

b)

μ = n·p = 100·0.25 = 25

σ = √(n·p·(1 - p)) = √(100·0.25·0.75) = 4.330

Φ(k) = 0.95 --> k = 1.645

Rechte Grenze

μ + k·σ = 25 + 1.645·4.330 = 32.12

Die Nulhypothese kann bis 32 erkannten Karten nicht abgelehnt werden. Ab 33 Karten wird die Nullhypothese abgeleht und Siwa hellseherische Fähigkeiten zugesprochen.

c)

β = P(H0|H1) = ∑ (x = 0 bis 32) ((100 über x)·0.5^100) = 0.0002043

Comments

ehrlich gesagt versteh ich die c bei dir gar nicht, ich hab ka was du da hast

ich bin in der q4 und das sieht für uns sogar zu kompliziert aus

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Das ist nur die Formel der Binomialverteilung. Berechne die Wahrscheinlichkeit

B(100, 0.5, 0 <= X <= 32)

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wie geb ich das denn in den tr ein? ich weiß, dass nur wenn k einen genauen wert hat

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Das geht wenn dein TR das Summenzeichen beherrscht. Z.B. der Casio fx991de.

Einige Taschenrechner haben aber auch gleich die Formel der Binomialverteilung integriert.

Wenn dein Taschenrechner es nicht kann bleibt im Zweifel noch die Tabelle zum Nachschlagen.

Answer 2

zu a)

Fehler erster Art: H0 wird verworfen obwohl H0 zutrifft.

Fehler zweiter Art: H0 wird beibehalten obwohl H0 nicht zutrifft.

Diese allgemeine Beschreibung der Fehlerarten musst du anhand des Sachzusammenhangs formulieren.

zu b)

Sei B(n,k,p) die Wahrscheinlichkeit von höchstens k Treffern bei n Versuchen bei dem jeder Versuch eine Erfolgswahrscheilichkeit p hat (a.k.a. kumulierte Binomialvertelung). In der Aufgabenstellung ist n=100 und p=0,25. Du musst das kleinste k bestimmen, dass B(n,k,p) ≥ 0,95 ist.

Es ist B(n,k,p) = ∑_i=1..k n!/(i! · (n-i)!) · pⁱ · (1-p)^n-i. Es gilt also, die Ungleichung

        ∑_i=1..k n!/(i! · (n-i)!) · pⁱ · (1-p)^n-i ≥ 0,95

nach k zu lösen. Blöderweise ist diese Ungleichung so kompliziert, dass sie sich nicht einfach durch Gleichungsumformungen lösen lässt. Was bleibt ist, mehrere Werte für k zu überprüfen. Dabei helfen einem die σ-Regeln. Eine solche lautet

        90% der Ergebnisse liegen innerhalb von 1,64 Standardabweichungen (σ) um den Erwartungswert (μ).

Es ist μ = n·p = 100 · 0,25 = 25 und σ = √(n · p · (1-p)) = √(100 · 0,25 · 0,75) = 4,33.

Es ist also μ + 1,64σ = 25 - 1,64·4,33 = 32,10

Berechne also B(100,32,0.25) und B(100,33,0.25). Wenn du ein mal über  0,95 und ein mal unter 0,95 landest, dann ist k≥33 der Ablehnungsbereich.

zu c)

Fehler zweiter Art ist B(100, 32, 0.5)