Das Dreieck ABC wird durch eine Parallele zu AB in Dreieck A´B´C und Viereck ABB´A´ zerlegt

Question

Das Dreieck ABC wird durch eine Parallele zu AB in ein DReieck A´B´C und das Viereck ABB´A´ zerlegt.

a) wie verhält sich der Flächeninhalt des Teildreiecks zu dem Flächeninhalt des Vierecks, wenn die Parallele von AB den Abstand 1/3 hc hat (hc Höhe auf C auf die gegenüberliegende Seite)

b) Welchen Abstand muss die Parallele von AB haben, wenn das Viereck und das Teildreieck flächengleich sein sollen?

 

 

Bitte um Hilfe

Answer 1

a)

Fläche vom gesamten Dreieck ist

AG = 1/2 * g * h

Oberes Dreieck

A1 = 1/2 * (2/3 * g) * (2/3 * h) = 4/9 * AG

Inhalt des Vierecks

A2 = AG - A1 = AG - 4/9 * AG = 5/9 * AG

Flächenverhältnis

A1/A2 = 4/9 : 5/9 = 4 : 5

b)

Es sollte gelten
A1 = 1/2 * AG

Damit muss die obere Höhe √2/2 * h sein. Für die Höhe des Trapez gilt damit

h - √2/2 * h = (1 - √2/2) * h = 0.2929 * h

Comments

Wie kommst du in der aufgabe b auf die wurzel2/2 ?

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Kannst du mir bitte erklären wie man auf diewWurzel2/2 kommt? Ich versteh das nicht.

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Wenn ich ein Quadrat mit der Fläche 4 FE habe dann sind die Seiten 2 LE lang. Wenn ich die Fläche halbieren will also 2 FE haben möchte muss ich die Seiten durch √2 teilen. Genau so ist es beim Dreieck was verkleinert wird.

Geteilt durch √2 bedeutet auch mal 1/√2 und erweiter ich das mit √2 ist der Faktor √2/2.

Du könntest aber auch schreiben

h - h / √2 = h * (1 - 1 / √2) = 0.2929 * h

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Tut mir leid, aber ich kann das mit der Wurzel 2 immer noch nicht nachvollziehen. Ich komme einfach nicht dahinter, auch wenn ich es zeichne. Kannst du das mal bitte geometrisch darstellen? Für Quadrat und Dreieck?

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Die Fläche eines Quadrates berechnet sich aus:

A₁ = a * a

Das sollte bekannt sein. Nun ist die Frage wie groß eine Kante a sein muss, damit wir ein quadrat mit doppeltem Flächeninhalt bekommen

A₂ = (√2*a) * (√2*a) = √2*√2 * a * a = 2 * A₁

Wir sehen das wir jede Kante mit √2 multiplizieren müssen um eine Fläche doppelter Größe zu bekommen. Um die Hälfte der Fläche zu bekommen muss ich also durch √2 dividieren. Das ganze gilt für Flächen jeglicher Form. Solange man die in x und y Richtung um den Faktor √2 vergrößert oder verkleinert, bekommen wir das Doppelte oder die Hälfte der Fläche.