ƒ: x -> -x^3 + 3x^2 ; x∈[0;2]. Graphen Flächeninhalt. Parallele zur x-Achse.

Question

Bin jetzt seit einiger Zeit schon nicht mehr in der Schule darum Brauche ich hilfe bei folgernder Aufgabe:

Durch den Punkt (u;f(u)) mit 0<u<2 des Graphen der Funktion

ƒ: x -> -x³ + 3x² ; x∈[0;2]

wird eine Paralle zur x-Achse gezogen. der Graph der Funktion f schließt der Parallen zwei Flächenstücke ein (Skizze!)
wie muß u gewählt werden damit
a) die Flächeninhalte beider Flächenstücke gleich sind;
b) die Summe beider Flächeninhalte minimal ist?

Answer 1

Die Gesamtfläche ist u * f ( u ) ( Rechteck )





Der obere und der untere Teil  sind bei u = 2 gleich.

b.) verstehe ich nicht . Die Summe beider Teile ist doch
das Rechteck u * f ( u ). Immer.
Am kleinsten ist das Rechteck bei u = 0.

mfg Georg

Comments

Georg, deine Skizze ist ein wenig irreführend und von einem Rechteck ist in der Angabe auch nirgends die Rede. Die Aufgabe scheint mir nicht so einfach zu sein...

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@jd132
Die Skizze stimmt.
Das Rechteck wird gebildet durch x = u und die
Parallele zur x-Achse als obere Begrenzung.

Ansonsten bitte eine eigene Skizze oder Rechnung
hier einstellen.

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Hier eine Skizze mit den beiden Graphen für \(c=1.8\) und den beiden eingeschlossenen Flächen:

y=x^3+3*x^2, y=1.8

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@hh182

Ich habe mir deine Skizze einmal angeschaut bin aber
nicht einverstanden.

In der Aufgabenstellung heißt es
Durch den Punkt (u;f(u)) mit 0<u<2 des Graphen der Funktion
ƒ: x -> -x³ + 3x² ; x∈[0;2]
wird eine Paralle zur x-Achse gezogen.

Das heißt durch den Schnittpunkt x = u | f ( u ) wird
die Parallele zur x-Achse gezogen. Dies ist der obere
Schnittpunkt.

Jetzt fällt mir ein, das könnte man auch anders verstehen.
Das Intervall x on 0 bis 2 ist fest.
Im Intervall gibt es ein x = u. Durch diesen Funktionswert
f ( u ) wird die Parallele zur Achse gezogen.
Ich mal gerade einmal ein Bildchen.

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Also sieht der Sachverhalt so aus ?

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Ja, genau so habe ich die Aufgabenstellung interpretiert. Dadurch ist a) recht einfach, b) aber eher kompliziert.

PS: Die linke Einschlussfläche muss natürlich oberhalb des Graphen von f liegen.

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PS: Die linke Einschlussfläche muss natürlich oberhalb des
Graphen von f liegen.
Wäre damit auch einverstanden.

Allerdings, so natürlich ist das für mich auch nicht.

Die Formulierung in der Fragestellung
wird eine Paralle zur x-Achse gezogen. der Graph der Funktion f schließt der
Parallen zwei Flächenstücke ein (Skizze!)
ist
a.) kein Deutsch
b.) immer noch reichlich verworren.

Vielleicht kann der Fragesteller etwas dazu sagen oder hat eine Skizze.

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Ich habe beim Lesen hinter "schließt" noch ein "mit" eingefügt, das war für mich am neheliegendsten.

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@Fragesteller.
Sollte die Frage noch nicht zur Zufriedenheit beantwortet
worden sein, dann bitte wieder melden.

Answer 2

Hi,

allgemein: \(F(x) \) soll die Stammfunktion sein.

Fläche des linken eingeschlossenen Flächenstücks: \(A_1(u) = \int \limits_0^u f(u) -f(x)dx = uf(u) - F(u) \)

Fläche des rechten eingeschlossenen Flächenstücks:

\( A_2(u) = \int \limits_u^2 f(x)-f(u) dx = F(2) - F(u) - (2-u)f(u)\)

zu a): Wann ist \(A_1(u) = A_2(u) \) ?

durch umformen erhält man \( f(u) = 2 \) also bei \(u=1\). (Dies ist logisch, da bei x = 1 der Wendepunkt von f(x) zwischen den Extrempunkten an den Intervallsgrenzen vorliegt und die Funktion bezüglich dieses Punktes punktsymmetrisch ist).

zu b) Wann ist die Summe der Fläche der beiden minimal?

Es handelt sich um die Antwort auf die Frage, wo \(A(u) = A_1(u) + A_2(u) \) für \( u \in (0,2)\) minimal wird.

Es kommt ebenfalls \( u = 1 \) raus.

Gruß