Parameter in 2x2 LGS - Wie Lösung finden?

Question

Für welche Werte von a und b hat das LGS eine, keine oder unendlich viele Lösungen?

(1. Aufgabe)

I.   ax+y=b

II.   x+ay=1

 

(2.Aufgabe)

I.   2x-3y+z=9

II.   4x+ay+2z=b

Answer 1

ax+y=b

  x+ay=1

Die Determinante ist  a^2 - 1 also

det = 0 für  a=1 oder a = -1

Damit hat in allen anderen Fällen das Gl.syst. genau eine Lösung.

Und die Fälle a=1  und a =-1 muss man extra betrachten.

  2x-3y+z=9

II.   4x+ay+2z=b   II minus 2* I. gibt

     ay - 6y =  b - 18     und           2x  -  3y  +  z  = 9 

     y ( a-6) =  b -18

hat für a ungleich 6 immer genau eine Lösung y = ( b-18) / ( a - 6 )

und mit der 2. Gleichung gibt es damit unendlich viele Lösungen, da man

z.B.  x frei wählen kann.

Für a=6 und b ungleich 18 gibt es keine Lösung

und für a=6 und b= 18 unendlich viele.

Answer 2

ich mach dann mal die

1)

ax + y = b  → y = b - ax

x + a • y = 1

y einsetzen:

x + a • (b -ax) = 1

x + ab -a²x = 1

****  (1-a²) • x = 1 - ab ****

1.Fall: 1- a² ≠ 0 , also a≠ ±1

x = (1 - ab) / (1 -a²) 

2.Fall: a = 1

 0 • x = 1- b

Fall 2.1:   b = 1 

       →  Gleichung ist allgemeingültig, das System hat unendlich viele Lösungen.

Fall 2.2:  b≠1   

0 • x = 1- b ≠ 0  →   Das System hat keine Lösung

3- Fall: a=-1

 0 • x = 1 + b 

Fall 3.1: b = -1

    →  Gleichung ist allgemeingültig, das System hat unendlich viele Lösungen.

Fall 3.2: b ≠-1     →   0 • x = 1+ b ≠ 0  →   Das System hat keine Lösung

Zusammenfassung:

a ≠ ± 1:     x = (1 - ab) / (1 -a²) 

a = 1 und b = 1:      das System hat unendlich viele Lösungen.

a = 1 und  b ≠1:      das System hat keine Lösung

a = -1 und b = -1:   das System hat unendlich viele Lösungen.

a = -1 und b ≠ -1:   Das System hat keine Lösung

Gruß Wolfgang