Eine Rente mit einer Laufzeit von 20 Jahren soll nach Wünschen des Empfängers in eine andere umgewandelt werden, die auch nachschüssig ist, aber um 1000,00 € höher ist, bei einer Verkürzung der Laufzeit um 5 Jahre. Wie hoch sind die Renten unter Berücksichtigung von 5%.
Bei solchen Aufgaben ist es unumgänglich ein gutes Formelwissen zu haben oder eine gute Formelsammlung. Oder man sollte wissen wie man sich die Formel kurzerhand aus denen die man weiß herleitet.
Aus der Aufgabe geht hervor, dass es um zwei nachschüssige Renten mit identischem Rentenbarwert handelt. Also brauche ich die Formel für den nachschüssigen Rentenbarwert. Wenn ich mich da jetzt nicht irre ist das
Barwert = r * (1 - (1 + p)^{-n}) / p
Diese setze ich nun gleich und setze jeweils die passenden Werte ein
r * (1 - (1 + 0.05)^{-20}) / 0.05 = (r + 1000) * (1 - (1 + 0.05)^{-15}) / 0.05
Das ganze nach r aufgelöst ergibt:
r = 4984.10 Euro
Die Eine Rente beträgt 4984.10 Euro und die andere 5984.10 Euro jährlich.
Probier die nächste Aufgabe mal alleine
Ein Mann spart zu seinem Vermögen 3.500 € am Ende eines jeden Jahres 250,00 € zu 4%. Er spart 8 Jahre lang.
Wir verzinsen 3500 Euro über 8 Jahre und addieren den Rentenendwert nach nachschüssigen Rente hinzu.
Wie lang kann er eine nach weiteren 5 Jahren zum ersten Mal fällige vorschüssige Rente von 1000,00 € beziehen?
Hier dürfe es egal sein ob ich 5 Jahre warte und die Rente vorschüssig auszahle oder 4 Jahre warte und die Rente nachschüssig auszahle. Also würde ich das ganze noch mal 4 Jahre verzinst und ergibt einen Rentenbarwert von dem die Laufzeit gefragt ist. Es ist also die Rentenbarwertformel nach n aufzulösen.
n = -ln((r - Barwert·p) / r) / ln(p + 1)
p ist wie gehabt der Zinssatz und r die Rente von 1000 Euro.
Schau mal ob du das alleine hin bekommst.
