Berechnen Sie in Abhängigkeit vom Parameter a den Rang der Matrix

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie in Abhängigkeit vom Parameter \( a \in \mathbb{R} \) den Rang der Matrix

$$ M=\left(\begin{array}{ccc} {a} & {1} & {a-1} \\ {1} & {a} & {0} \\ {0} & {-1} & {2} \end{array}\right) $$

Ansatz:

Mein Lösungsweg wäre es so umzuformen, so dass überall a ist, also:

M= ( a-1   1-a   a-1 )

      (2-a    2a-1  a-1)

     (-a+1   -2+a   3-a)

Wie ich drauf gekommen bin: I - II ;  II - I_a;  III - I_a

Man sieht in der ersten Zeile, dass für a = 1 eine Nullzeile entsteh und man somit einen Rang von 2 hat.

Aus den anderen Zeilen kann man keine Nullzeile bekommen. Das heißt für a = 1 ist der Rang 2 und für a ≠ 1 ist der Rang 3.

Ist das richtig?

Answer 1

DET([a, 1, a - 1; 1, a, 0; 0, -1, 2]) = 2·a^2 - a - 1 = 0 --> a = -0.5 ∨ a = 1

Was hast du für a = -0.5 ?

Comments

Wenn ich a=-0.5 in die ursprüngliche Matrix einsetzt, dann komm ich da auch auf Rang 2, in meiner wurde es mir zu kompliziert..

Also muss ich bei so einer Aufgabe einfach nur die Determinante = 0 setzen und die Nullstellen rausfinden?

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Ja. So würde ich das zumindest machen.