Rang einer Matrix bestimmen in Abhängigkeit von Parameter a

Question

gegeben ist folgende Matrix:

$$\begin{pmatrix}  1 & 2 & a \\ 1 & a & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$$

Ich soll nun den Parameter a so wählen, dass der Rg(A)=1, Rg(2)=2 und Rg(3) ist.

Durch Umformungen habe ich die "Treppenform" erzeugt.

III-I und die II-I

$$\begin{pmatrix}  1 & 2 & a \\ 0 & a-2 & 3-a \\ 0 & 0 & 3-a \end{pmatrix}$$

1) Frage: Habe ich richtig umgeformt?

Jetzt muss ich ja 3 Fälle unterscheiden: a=2, a=3 und a= Element der Reellen Zahlen \ {2,3 }

1. Fall a=2 einsetzten: \begin{pmatrix}  1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} dann noch III-II, und dies ergibt:

\begin{pmatrix}  1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

2) Frage: Wieso forme ich hier nochmal weiter um? Ich meine ich habe doch meine Treppenform? Oder forme ich hier weiter um, weil "ich es kann", ohne mir eine 0 zu "zerschießen" ?

Also wäre ich der Rg(A)=2

2. Fall a=3. Einsetzen ergibt:

\begin{pmatrix}  1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

also Rg(A) = 3

3. Fall. a= Element der Reellen Zahlen \ {2,3 }

$$\begin{pmatrix}  1 & 2 & a \\ 0 & a-2 & 3-a \\ 0 & 0 & 3-a \end{pmatrix}$$

3) Frage: Hier habe ich meine Treppenform ja schon. Muss ich jetzt weiter umformen, oder kann ich den Rg(A) ablesen? Oder müsste ich versuchen weiter Nullen zu erzeugen, um zu gucken, ob noch eine Zeile null wird?

Unser Dozent tut dies eben, deshalb bin ich etwas verwirrt, im Skript steht aber einfach nur, dass man die Treppenform erzeugen muss.

Wäre über Hilfe äußerst dankbar.

Vielen Dank & und viele Grüße

Answer 1

Du hast richtig umgeformt und deine Fallunterscheidung ist auch richtig. Mehr brauchst du nicht machen.

für a = 2 erhältst du [1,2,2;0,0,1;0,0,1] und damit den Rang 2.

für a = 3 erhältst du aber [1,2,a;0,1,0;0,0,0] und damit den Rang 2.

für alle anderen a ist der Rang 3.

Comments

Wie kannst du denn bei a=2 [1,2,a;0,0,1;0,0,1] ablesen, das der Rang 2 ist? Du hast doch keine Nullzeile.

zu a=3. Ahh, danke. Da habe ich mich einfach verschrieben.

Aber kannst du mir vielleicht erklären, weshalb mein Dozent immer weiter umformt bis nichts mehr geht bzw. was die Idee dahinter sein könnte?

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Wenn du 2 identische Zeilen hast kannst du doch die eine von der anderen Abziehen und erhältst eine Nullzeile. Das darf man auch so sehen ohne die Zeilen zu subtrahieren.

Kannst du vielleicht mal ein Foto machen wo der Dozent es gemacht hat?

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Okay, warum dass jetzt schief wird, wenn ich es hier einfüge weiß ich nicht, aber ich denke die Matrix ist so einfach, dass man alles erkennen kann.

Wieso formt er weiter um? Kann man nicht schon am Anfang Rang 2 ablesen?

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Ja. Da kann man auch gleich den Rang 2 ablesen, weil wir zwei linear unabhängige Zeilen und eine Nullzeile haben.

Man hat bei der linken Matrix ja auch eine Zeilenstufenform gegeben nur das die Zeilen vertauscht sind.