Metrik Begriffe Zeichnung

Question

es sind Begriffe zu Metrik, die ich nicht verstehe . Offene/abgeschlossene Kugel , Umgebung, Randpunkt, Berührungspunkt und Häufungspunkt. In meinem Skript stehen die aufgenannten Begriffe, aber ich kann mir es nicht bildlich vorstellen was genau die Punkte sind. Auch im Internet habe ich keine gute Darstellung dazu gefunden.

Kann mir da bitte jemand eine Zeichnung machen und darauf die Begriffe veranschaulichen ?

Comments

offene/abgeschlossene Kugel und Randpunkte habe ich soweit verstanden.

Answer 1

offene/abgeschlossene Kugel und Randpunkte habe ich soweit verstanden

Dann ist auch Umgebung eines Elementes x nicht mehr schwer, das ist eine Menge, die

eine offene Kugel mit Mittelpunkt x enthält.

Wenn du zum Beispiel das Innere eines Rechtecks R hast, dann ist das  ( in der

euklidischen Metrik ) eine Umgebung von x , da um jedes x aus R eine offene

Kreisscheibe gelegt werden kann, die ganz in R enthalten ist.

Vielleicht kannst du dir ja bei einer Menge M auch " das Innere" , die "größte"

offene Menge, die in M enthalten ist und die "abgeschlossene Hülle" , also die "kleinste"

abgeschlossenen Menge, die M enthält, vorstellen.

Die Differenzmenge   abg. Hülle \ Inneres  bildet den Rand.

Ganz interessant finde ich in diesem Zsgh. das Beispiel der
abg. Kugeln bei
https://de.wikipedia.org/wiki/Abgeschlossene_H%C3%BClle

Comments

Was ist genau der Berührungpunkt und Häufungspunkt ?

Answer 2

Die Umgebung zu einem Punkt P  im Dreidimensionalen kann kugelförmig sein. P ist dann der Mittelpunkt der Kugel. Sie kann aber auch eine andere Form haben, Zum Beispiel würfelförmig. P ist dann der Schnittpunkt der Raumdiagonalen. Einen Berührungspunkt kann es zum Beispiel zwischen zwei Umgebungen oder zwischen verschiedenen Formen einer Umgebung geben (die Kugelumgebung kann die Würfelumgebung von innen berühren). Um von einem Häufungspunkt zu sprechen, muss es eine unendlich große Zahl von Punkten geben, die sich natürlich irgendwo häufen. In jeder Umgebung eines Häufungspunktes liegen unenlich viele Punkte.