Berechnen Sie alle komplexen Lösungen der Gleichung z^6+z=√3*i*z in Polarform.

Question

z⁶+z=√3*i*z

Ich weiß nicht wie ich das lösen darf. Darf ich dies mit der Formel: z=a+bi einfach rechnen, oder muss ich die Formel mit sin und cos benutzen? Die letzte verstehe ich nicht, kann mir die jemand gut und klar erkleren? Wenn jemand dass Lösungsweg mir zeigen kann, das wäre auch gut.

Comments

Gilt die Wurzel nur für die Zahl 3?

z⁶+z=√3*i*z 

z^6 + z(1-√3*i) = 0

z(z^5 + (1 - √3*i) = 0

z1 = 0

z2,z3,z4,z5,z6 sind alle fünften Wurzeln aus (1-√3*i). Dafür sind nun die Polarkoordinaten nützlich.

---

Ja. Nur die Zahl 3 steht unter dem Wurzel.

---

Ok. Verstehst du den Lösungsweg jetzt?

---

 Verstehe bis die letzte Zeile.  Warum sind die z2,z3,z4,z5,z6 = 5?  Und was ist genau gemeint mit Polarform?

---

Eine allgemeine Anleitung um n-te Wurzeln in C zu berechnen findest du z.B. hier:

http://www.komplexezahlen.com/radizieren-komplexer-zahlen.html

Im allgemeinen Fall kommen komplexe Zahlen auf einem regulären n-Eck raus.

Answer 1

Fortsetzung der Rechnung im Kommentar oben. Bereits gefunden: z1=0

z^5 = (1-√3*i) =

r= √(1^2 + 3) = 2

φ= arctan(-√3/1) = -60° = 300°

360°/5= 72°

φ/5 = 60°              z2= 2^0.2(cos 60° + isin60°) = 0.5743 + 0.9948*i

60° + 72°= 132°         z3=2^0.2(cos 132° + isin 132°) = -0.6691 +0.9806*i

132°+72° = 204°         z4= 2^0.2(cos204° + isin204°) = -1.0493 - 0.4672*i

204°+72°=276°          z5= 2^0.2(cos276° + isin276°) = 0.1201 -1-1424*i

276°+72°=348°         z6=2^0.2(cos348° + isin348°) = 1.1236 - 0.2388*i