Polstelle mit Vzw. bei einer Gebrochenrationale Funktion mit der H-Methode)?

Question

wie kann ich eine Polstelle (mit Vzw.) bei einer Gebrochen rationale Funktion  mit der h-Methode beweissen.

Geben ist die Funktionschar: (ax^2+5)/(3x-1).

Wie kann ich beweisen, dass wir hier eine Polstelle mit Vzw. von -∞ zu +∞ haben?

Wie schreibt man sowas vernünftig auf ?

Ist meine Rechnung korrekt?

Answer 1

Die h-Methode wird eigentlich dazu verwendet die 1.Ableitung zu bilden.
Diese ist meiner Meinung nach nicht notwendig

Die Polstelle ist bei x = 1/3
Der Nenner geht für
lim x −> 1/3(-)  [ 3x -1 ]  gegen 0(-)
lim x −> 1/3(-)  [ 3x -1 ]  gegen 0(+)

Der Zähler bleibt dabei gleich / hat dasselbe Vorzeichen

Es findet also ein Vorzeichenwechsel statt

a = 1

~plot~ (1*x^{2}+5)/(3*x-1) ; x = 1 / 3  ~plot~

Comments

Hallo Georg,

du hast einen Tippfehler in der 6. zeile:

 lim x −> 1/3( + )  [ 3x -1 ]  gegen 0(+) 

Gruß Wolfgang

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Copy und Paste und dann vergessen das minus auszutauschen.

Korrektur
Der Nenner geht für
lim x −> 1/3(-)  [ 3x -1 ]  gegen 0(-)
lim x −> 1/3(+)  [ 3x -1 ]  gegen 0(+)

Answer 2

Georg hat recht: Bei der Grenzwertbestimmung mit der h-Methode "schießt  man eigentlich mit Kanonen auf Spatzen", denn es geht einfacher.

Aber wenn die h-Methode in der Aufgabenstellung ausdrücklich verlangt wird, musst du sie auch benutzen:

Für den Nachweis des Vorzeichenwechsels an der Polstelle x=1/3  berechnest man dann den rechts- und den linksseitigen Grenzwert  lim_x→1/3+ f(x)  und  lim_x→1/3- f(x)

Dabei ersetzt man x durch 1/3±h   und   lim_x→1/3±  f(x)  durch lim_h→0 f(1/3 ± h)   mit  h>0

Rechnerisch wird das nur übersichtlich, wenn man im Zähler x=1/3 einsetzt, also von der Darstellung

lim_x→1/3±  \(\frac{ax²+5}{3x-1}\)   = lim_x→1/3± \(\frac{1/9a+5}{3x-1}\)   ausgeht.

Dann ergibt sich   lim_h→0  \(\frac{1/9·a+5}{3·(1/3±h)-1}\) 

Nenner ausrechnen:

= lim_h→0  \(\frac{1/9·a+5}{±3h}\) 

der Vorzeichenwechsel ist offensichtlich

VZW   - → +  für  a > -45     [ 1/9 • a + 5 > 0 ]

VZW   + → -  für  a < -45 

Gruß Wolfgang