Durchschnitt von zwei affinen Unterräumen

Question

Ich knoble gerade an einer Aufgabe bei der folgendes gegeben ist:L1 sei der kleinste affine Unterraum, der die Punkte (1,2,-1), (0,1,2), (0,1,-1) enthält.L2 sei der kleinste affine Unterraum, der die Punkte (1,2,3), (0,1,0), (1,1,-1) enthält.

Nun muss man den Durchschnitt L1∩L2 berechnen.
Kann mir jemand auf die Sprünge helfen, wie man das machen muss?
Gruss

Answer 1

affine Unterräume in IR^3 sind bis auf Spezialfälle Ebenen und Geraden

Also schaust du mal, ob die drei Punkte auf einer Geraden liegen oder

schon eine Ebene bestimmen.

die Punkte (1,2,-1), (0,1,2), (0,1,-1) haben die Verbindungsvektoren

(1;1;-3) und  ( 1;1;0) sind also lin. unabh. also bilden sie die Ebene

mit der Parametergleichung

x = (1,2,-1 ) + r*(1;1;-3)  +  s* ( 1;1;0)

Die Punkte (1,2,3), (0,1,0), (1,1,-1) haben die Verbindungsvektoren

(1;1;3) und (0;1;-1) also auch eine Ebene:

x = (1,2,3) + t*(1;1;3)  +  u* ( 0;1;-1)

Also muss du die Schnittmenge der beiden Ebenen bestimmen,

das wird dann wohl eine Gerade. Dazu bringst du die

Ebenengleichungen vielleicht besser in Koordinatenform.

Comments

Hey Mathef,

Danke für die ausführliche Antwort! Ich verstehe noch nicht ganz wie du auf die Verbindungsvektoren gekommen bist, sind das nicht folgende:

a1a2= a2-a1 = (-1,-1,-3) und a1a3 = a3-a1 = (0,-1,-4)

?

und dann wäre die Parametergleichung x = (1,2,-1) + r*(-1,-1,-3) + s*(0,-1,-4)

Du hast ja die Vektoren a2a1 und a3a1 genommen oder?

Gruss

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Weiss jemand was dazu? Ich verstehe immer noch nicht wie du auf die Verbindungsvektoren gekommen bist :S

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Eh ich habe natürlich die Parametergleichung x = (1,2,3) + r*(-1,-1,-3) + s*(0,-1,-4) gemeint, L2 betrachtet