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Ein Kindergarten kann 20 Kinder zum Montasbeitrag von 754 G.E. aufnehmen. Jede Erhöhung des Monatsbeitrages um 73 G.E. führt zum Verlust von 2 Kindern. 

Welcher Monatsbeitrag liefert die größten Einkünfte?

Könnte mir vielleicht jemand sagen wie diese Aufgabe genau geht?

Ich habe zwar diesen Weg probiert komm jedoch nicht weiter:

(20-2*k)*(754+73*k) = -146*k^2 -14*k +15080

Habe dann das k mit der quadratischen Formel herausgefunden -> k= 10 (k2= -10.33)

Weiß aber leider nicht ob dies der richtige Weg ist bzw. Wenn ja wie es jetzt weiter geht?

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2 Antworten

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zur Extrempunktbestimmung (Scheitelpunkt) einer Parabel fallen mir spontan 3 Wege ein.

1.) Umformen in Scheitelpunktform und Ablesen der Koordinaten

\( f(x)= ax^2 + bx +c =  a \cdot (x-d)^2 + e \)

Scheitelpunkt S(d/e)

2.) Scheitelpunkt ueber die Nullstellen bestimmen

\( f(x_0)=0= ax_0^2 + bx_0 +c \)

\( x_s = \frac{ x_{0_1} + x_{0_2}}{2} \)

Scheitelpunkt S ( xs / f(xs))

3. Extrempunkt bestimmen ueber die Ableitung

\( f'(x_e)=0= 2ax_e + b \)

Extrempunkt E ( xe / f(xe))



Deine Formel für die Einnahmen ist korrekt, Du hast aber einen kleinen Rechenfehler beim ausmultiplizieren, der hier das Endergebnis aber nur unwesentlich beeinflusst.

\( m(k)= (20-2k) \cdot (754 + 73k) = 15080 +1460k - 1508k - 146k^2  \)

\( m(k) = -146k^2 -48k + 15080 \)

Das eine Erhoehung nicht foerderlich waere, kann man auch schon anhand der Verhaeltnisse bestimmen.

Eine Erhoehung um weniger als ein Zehntel des Beitrags laesst ein Zehntel der Beitraege wegfallen. Das kann also nicht mehr werden. Daher gehe ich davon aus, dass die Aufgabenstellung ggfs. noch mehr Informationen haben koennte, so dass sich eine andere Berechnung ergibt.

Die Nullstellen haettest Du desweiteren schon an der zuerst aufgestellten Formel ablesen koennen, denn ein Produkt ergibt 0, wenn einder der beiden Faktoren 0 ist.

\( m(k)= (20-2k) \cdot (754 + 73k) \)

\( 20 -2k = 0 \Leftrightarrow k = 10 \qquad \vee \qquad 754 + 73k = 0 \Leftrightarrow k= - \frac{754}{73} \)

Gruss

Avatar von 2,4 k

Danke .. Werde ich mir mal anschauen..

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(20-2*k)*(754+73*k) = -146*k2 -14*k +15080 das ist richtig. Diese nach unten geöffnete Parabel hat ihren Scheitelpunkt bei (-12/73/15084), was ja bei ganzen Kindern keinen Sinn ergibt. Daher liegtdas realistische Maximum bei (0/15080). Folglich keine Erhöhung der Gebuhren.

Avatar von

Okej danke aber wo ich nicht so zu recht komme sind die antwort Möglichkeiten sind

 a 442.44

 b. 659.91 

 c. 908.33

 d. 742

 e. 776.10

Was muss ich genau machen um auf eines dieser Ergebnisse zu kommen ? (Eines ist das richtige Ergebnis)

die Formel ist nicht ganz korrekt, beim Ausmultiplizieren ist ein Fehler passiert.

Gast jb4100 hat schon die Antwort gegeben. Bei der Formulierung liegt das Maximum bei \( - \frac{12}{73} \). Setzt man dieses eine ergibt sich für den Beitrag

\(B(k) = 754 + 73k \)

\(B( -\frac{12}{73} )= 754 + 73 \cdot ( - \frac{12}{73} ) = 754 -12 = 742 \)

Wie er aber auch schon richtig beschrieben hat, ist diese Antwort mathematisch zwar korrekt, aber bezogen auf das Modell totaler Quatsch, da man schlecht \( \frac{12}{73} \) Kind weniger in die Betreuung geben kann.

Hier ist am Ende der Beitrag bei Beibehaltung der Kinderzahl am naechsten zum mathematischen Maximum und damit der von der Umsetzung her erreichbare Maximalbetrag.

Gruss

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