Integral von e ^ (-x^2) berechnen .

Question

Hallo kann mir jemand sagen wie man das lntegral hier löst :

$$\int { { e }^{ -{ x }^{ 2 } } } dx$$ ?

Answer 1

Das wäre schön wenn es da eine einfache Stammfunktion geben würde. Leider gibt es die nicht.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+e%5E(-x%5E2)

Comments

Oha! Error fuction :D .

Heißt das es gibt keine Stammfunktion oder wie ist das zu verstehen ?

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Doch die Error Funktion ist eine Stammfunktion. Allerdings einfach eine Definierte für die es keinen schönen Funktionsterm gibt.

Die meisten Funktionen in der Mathematik können nicht in geschlossener Form integriert werden. Du bist nun gerade auf deine erste Funktion dieser Art gestoßen. 

Für die Standardnormalverteilung gibt es Tabellenwerke aus denen man das Integral in bestimmten Grenzen berechnen kann. Die Standardnormalverteilung steht in sehr engem Verhältnis zu deiner Funktion.

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Oh danke für die Information !

Und diese Tabellen richten sich dann an Reihenentwicklungen die dort einigermaßen exakt berechnet drinn stehen?

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Das ist keine Tabelle für die Reihenentwicklung sondern nur die Tabellenwerte der Stammfunktion der Normalverteilung. Damit kann man dann flächen und integrale wie du sie hast berechnen.

Answer 2

diese Integral ist geschlossen nicht integrierbar.

Comments

Hallo und danke ! Ich wollte zuerst mal wissen ob dieses Integral existiert und wie es ausschaun würde denn ich habe hier noch etwas zu bestimmen .
$$\int _{ -1 }^{ 1 }{ { e }^{ { -x }^{ 2 } } } \\ \int _{ -\infty  }^{ \infty  }{ { e }^{ { -x }^{ 2 } } } $$

die beiden soll man näherungsweise bestimmen .

Kann das sein das hier 0 rauskommt?
Nun ja ich habe mir die funktion e^-x^2 plotten lassen und die sieht totall achsensymmetrisch aus und die Stammfunktion hebt sich so wie das aussieht im positiven und negativen bereich genau weg .

oder kann man das anders begründe/zeigen?

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Wenn du es dir hast Plotten lassen, kannst du erkennen, das die Fläche zwischen Funktion und x-Achse ganz bestimmt nicht Null ist. Wie kommst du denn darauf das Integral könnte Null sein?

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Ich meine F(1)- F(-1) . Das sich die beiden Stammfunktionen womöglich aufheben ?

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das kannst Du z.B durch Reihenentwicklung berechnen.

1.)Ergebnis ≈ 1.49

2.)Ergebnis ≈ 1.77

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Danke für deb Hinweis .

Kanst du mir sagen wie zu so einer Reihenentwicklung komme ?

Meinst du die formel $$\sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ f^{ k }\left( 0 \right)  } *\frac { { x }^{ k } }{ k! } $$

jedoch wie die bei Wolfram alfra angezeigt sind kann ich die nicht nachvollziehen wie man daruf kommt ^^

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Hallo

Lösung 1. Aufgabe:

Kannst du mir sagen, wie ich  zu so einer Reihenentwicklung komme ?

entweder mittels einer Taylorreihe oder Binomischer Reihe .

---> Transformation zur Reihe e^z , die ist aber bekannt und steht in jedem Tafelwerk.