Endliche Menge und bijektivität

Question

Ist X eine endliche Menge, so gibt es keine bijektive Abbildung von X nach X x X.

Ist diese aussage wahr?

Ich verstehe die Bezeichnung X x X nicht.

Answer 1

X x X ist die Menge aller Paare mit beiden Komponenten aus X.

Die Aussage ist falsch:

Gegenbeispiel:  Sei X = {1}
Dann ist  XxX = { (1;1) }
Und die Abbildung f : X ---->  XxX
                                  1 → ( 1;1)
ist offenbar bijektiv.

Answer 2

XxX ist eine Menge aus Paaren aus Elementen von X. Wenn X etwa  natürliche Nenner bzw. natürliche Zähler von Brüchen sind, dann lassen sich die Paare aus XxX als Brüche darstellen. Auch für unendlich viele Brüche gibt es eine bijektive Abbildung auf die Menge der natürlichen Zahlen. Dann wird das wohl für endliche Mengen erst recht der Fall sein. Die Aussage ist also falsch

Comments

Für endliche Mengen mit mehr als einem Element ist die Aussage allerdings

wahr.

Denn wenn X genau n Elemente hat, dann hat XxX genau n^2 Elemente

Und für n>1 ist n^2 > n also gibt es keine Bijektion zwischen den

Mengen.

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Dieser Schluss ist eindeutig falsch. Selbstverständlch gibt es gena so viele Quadratzahlen, wie es natürliche Zahlen gibt. Das gilt auch für die gesamte Menge der natürliche Zahlen, also auch für jede endliche Teilmenge.

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Du solltest vielleicht noch mal das Thema Surjektivität wiederholen.