Das Polynom x^2 + bx + c besitze keine reellen Nullstellen und für f >= 2 sei F(x) eine Funktion...

Question

Hi Mathe-Fans,

ich habe hier eine Aufgabe, mit der ich nicht weiterkomme. Kann mir einer diese Aufgabe lösen? Bitte mit kleinen Erklärungen der Zwischenschritte, damit ich weiß wie man das rechnet und an solche Aufgaben ran geht. Unten seht ihr die Aufgabe:

Comments

Na, du könntest zunächst mal G ableiten und das Ergebnis geeignet zusammenfassen.

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Vielleicht liefert auch die Antwort zu dieser, ähnlich gelagerten, Aufgabe, die heute genau ein Jahr alt ist, ein paar Ideen:

https://www.mathelounge.de/223481/polynom-x-2-bx-ohne-reelle-nullstellen-zeigen-dass-1-x-2-bx-1-c-f

Answer 1

Hi,
$$ G'(x) = -\frac{\beta}{2(f-1)}\left[ (2x+b)F'(x) + (x^2+bx+c)F''(x) \right]+\left( \gamma - \frac{\beta b}{2} \right)F'(x) $$
$$ F''(x) = (-f) \cdot F'(x) \cdot \frac{2x+b}{x^2+bx+c} $$ also
$$ G'(x) = -\frac{\beta}{2(f-1)} \left[ (2x+b)F'(x) - f(2x+b)F'(x) \right] +  \left( \gamma - \frac{\beta b}{2} \right)F'(x) $$ also
$$ G'(x) = -\frac{\beta}{2(f-1)}(2x+b)F'(x)(1-f)+ \left( \gamma - \frac{\beta b}{2} \right)F'(x) $$
ausrechnen bringt dann das gewünschte Ergebnis.