Werte von y(t) bestimmen. Geg: Differentialgleichung ẏ = r*y*(1-(1/K)*y)

Question

Zur Beschreibung von Wachstumsprozessen mit Selbsthemmung wird die logistische Differentialgleichung
ẏ = r*y*(1-(1/K)*y)

verwendet; die Größen r > 0 und K > 0 sind Konstanten, die vom jeweiligen Anwendungsfall abhängen (der einfachste Fall ist K = r = 1).

(i) Vergewissern Sie sich, dass für jedes c ∊ \R die durch t |-> y(t) = K/ 1+c*e^{-r*t}

gegebene Funktion der Differentialgleichung genügt (sie ist nur für t mit c*e^{-r*t} ungleich -1 definiert; insbesondere für c >= 0 ist somit jedenfalls für alle t >= 0 definiert).

(ii) Bestimmen Sie für die durch (1) gegebene Funktion t |-> y(t) (für eine feste Wahl von c) den Wert y(0).

(iii) Ist ein Anfangswert y0 > 0 vorgegeben, so bestimmen Sie c derart, dass die durch (1) gegebene Funktion diesen Anfangswert realisiert, also y(0) = y0 erfüllt. Welche Lösung ergibt sich für den Anfangswert y0 = K? Welche Lösung bekommt man für den Anfangswert y0 = 0?

(iv) Bestimmen Sie lim t->unendlich y (t) für eine Lösung mit Anfangswert y0 > 0 und ermitteln Sie den Zeitpunkt tM, für den y (tM) = 1/2 *K ("Mittelzeit").

Comments

Bitte Nenner jeweils einklammern. Was genau ist unter dem Bruchstrich in

ẏ = r*y*(1-1/K*y) und in y(t) = K/ 1+c*e^-r*t     ?

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Aus dem Duplikat:

Hier Tipps von jemand anderen... vll kann das jemand damit rechnen?
zu (i)

setz' doch einfach y(t) und dessen Ableitung in die DFGl. ein und zeige die Identität.

Weiter darf natürlich der Nenner von y(t)→1+C⋅e^−r⋅t nicht 0 sein.

1+C⋅e^−r⋅t≠0

C⋅e^−r⋅t≠−1

Da e(...) immer größer 0, gibt's für positive C bzw. C=0 keine Einschränkungen da dann immer:

C⋅e^−r⋅t≥0

Zu (ii)

auch hier setzt du nun einefach einen festen Wert für C ein. Ich empfehle die 1, so gibt's keine Einschränkungen (vgl. (i))

Zu (iii)

hier setzt du in die Lösung y(t)=0 bzw. y(t)=K und ermittels daraus das entspr. C und kannst dann damit die Lösungsfkt. konkretisieren.

Zu (iv)

Für deine Lösung y(t) die du für y(t)=K unter (iii) gelöst hast untersuchst du nun das Verhalten im unendlichen.

limt→∞yK→C(t)=...

Den 2. Teil auch einfach über:

yK→C(tM)=K^2

Diese stellst du nach tM um:

tM=...

Answer 1

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