Wie zusammengesetzte Wurzeln integrieren? Bsp. f(x) = √(1 + 9x4)

Question

Ich hätte mal eine Grundfrage zum Lösen von Integralen mit Wurzel.

Bei

$$\int \sqrt { x } {dx}$$

muss man ja das ganze nur umschreiben:

$${ x }^{ \frac { 1 }{ 2 } }$$

und dann 'aufleiten':

$${ \frac { 2 }{ 3 } x }^{ \frac { 3 }{ 2 } }$$

Aber ansonsten, weiß ich nicht, wie ich z. B. hier vorgehen muss:

$$\int \sqrt { 1+9{ x }^{ 4 } } dx$$

Vllt stehe ich nur auf dem Schlauch, aber als ich es bei wolframalpha eingab, kam was extrem langes raus, was ich nicht nachvollziehen kann.

Comments

Kann man nicht 3x² mit einer der hyperbolischen Funktionen substituieren?

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Das wäre zumindest sehr effektiv, wenn dort 1 minus stehen würde.

Ich denke mal der Fragesteller hat sich diese Funktion eventuell nur ausgedacht und hat sie nicht wirklich als Aufgabe auf.

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"wenn dort 1 minus stehen würde", würde doch eine trigonometrische Funktion genügen.

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Stimmt. Aber ein Blick auf Wolfram verheißt nichts gutes

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+%E2%88%9A(1%2B9x%5E4)

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Ich habe inzwischen die Tabelle gefunden: https://de.wikipedia.org/wiki/Hyperbelfunktion#Umrechnungstabelle und entnehme sinh(u) = 3x².

sinh wird auch von WA erwähnt. Obwohl ich auch bezweifle, dass der Fragesteller diese Aufgabe effektiv von Hand lösen soll.

Answer 1

Das liegt daran das die innere Ableitung von √(1 + 9x⁴) einfach 36x³ ist. Dadurch müsste man beim Integrieren teilen, was hier nicht geht weil der Teil nicht irgendwo außen als Faktor steht.

Habt ihr denn die Aufgabe auf?

Wenn nicht solltest du dich vorerst damit abfinden, dass es Funktionen gibt die man nicht so einfach integrieren kann.

Z.B.

∫ e^{-x^2} dx

Diese doch so schöne und einfache Funktion lässt sich algebraisch leider nicht so einfach integrieren.

Du lernst aber in der Schule noch andere Verfahren wie Integration durch Substitution mit deren Hilfe sich dann auch noch ein Teil von Funktionen integrieren lassen.

Wenn du Wolframalpha am Smartphone nutzt bekommst du übrigens oft eine Schritt für Schritt Lösung. Diese ist vielleicht nicht immer optimal liefert aber ideen für eine eigene Lösung.

Comments

Es ist ein Teil von der Aufgabe
$$\int _{ 1 }^{ 2 }{ { x }^{ 3 }\sqrt { 1+9{ x }^{ 4 } } }$$
in der man das Dank partieller Integration umgehen kann.
Aber ich dachte ich frage mal nach, nicht dass ich irgendwann auf eine solche Aufgabe stoße, wo man dem Problem nicht mit partieller Integration aus dem Weg gehen kann.
Hätte ja sein könne, dass man das eigentlich ganz einfach lösen kann.

Jetzt weiß ich, dass man das so nicht einfach lösen kann und muss mir das keine großen Sorgen mehr machen. Daher Danke. :)

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Genau. Im Rahmen der Schule und des Studium begegnen einem eigentlich nur ausgesuchte Aufgaben die sich lösen lassen. Vorausgesetzt der Lehrer/Professor hat die Aufgabe auch so notiert wie sie gemeint war und nichts vergessen :)

Man sollte wissen das man nicht jede Funktion einfach algebraisch integrieren kann. Du hast jetzt gerade die erste kennengelernt.