pq Formel: Vorzeichen in pq Formel unter Wurzel unverständlich

Question

Ich habe eine Frage zur pq Formel:
Meine Aufgabe lautet:
x²-5x+6,25=0

So habe ich gerechnet:
x_1,2=-(-5/2) ± √ (-5/2)² - 6,25 (Wurzelende)

x_1,2= 2,5 ± √ (-2,5)² - 6,25 (Wurzelende) hier ist auch schon mein Fehler und meine Frage: in der Lösung steht (2,5)²

Wie und wann ändert sich das Vorzeichen?

Comments

Hi,

ganz allgemein lautet die PQ-Formel ja: -(p/2) +- √((p/2)² - q),
In deinem Fall folgt für x²-5x+6,25 = 0 dann -(-5/2) +- √((-5/2)² - 6,25).
Du hast alles richtig eingesetzt.

In der Lösung steht wahrscheinlich nur (2,5)² weil das Quadrat einer negativen Zahl stets positiv ist. Ich habe das - auch nie eingesetzt, da man sich somit ein wenig Schreibarbeit sparen konnte :-D

LG

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Das aus einem Quadrat einer negativen Zahl immer eine positve Zahl entsteht, wusste ich wohl, aber irgendwie war ich irritiert, weil ich nicht mehr folgen konnte wo jetzt das Vorzeichen auf einmal abgeblieben ist.

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ich empfinde das eher so, dass die Lösung "fehlerhaft" ist. Sie liefert zwar ein richtiges Ergebnis, aber eine korrekt angewandte pq-Formel gibt sie nicht wieder. Ich befürchte einige meiner ehemaligen Lehrer, hätten das, falls sie es bemekrt hätten, auch angemarkert.

Man sieht hier einfach, das $x^2$ und $(-x)^2$ zwar das gleiche Ergebnis haben, d.h. die Ausdrücke sind äquivalent, aber dasselbe ist es trotzdem nicht.

Etwas off topic:

Was sich hier noch zeigt ist, wofür quadratische Ergänzung gut sein kann. Manchmal ist es wirklich einfacher die pq-Formel anzuwenden, aber wer auch quadratische Ergänzung (bzw. Binomische Formeln) beherrscht sieht sofort, dass

$x^2 - 5x + 6,25 = (x-2,5)^2$

ist. und kann sich den Aufwand mit der Formel sparen.

Das erklärt sich natürlich aus dem Umstand, dass die Mitternachtsformel, bzw. die pq-Formel nur die allgemeinen Fälle der Lösung per quadratischer Ergänzung sind. Einmal aus $ax^2 + bx + c = 0$ und einmal aus $x^2 + px + q = 0$ hergeleitet. Man kann auch jeweils die eine in die andere überführen, da gilt $p= \frac{b}{a}$ und $q = \frac{c}{a}$. Ich persönlich fand die Herleitung der jeweiligen Formel eine gute Übung für das Lösen von quadratischen Gleichungen und dem Verständnis der beiden Formeln.

Gruß

Answer 1

Es sollte dir klar sein das

(-2.5)² genau das gleiche ist wie (2.5)² . Ein Quadrat kann eh immer nur positiv werden. Man kann bei einem quadrat also praktischer Weise das Vorzeichen unter dem quadrat weglassen.

Worauf du nicht geachtest hast ist das das erste 2.5 kein minus haben darf !!

x = - p/2 ± √((p/2)² - q)

x = - (-5)/2 ± √(((-5)/2)² - (6.25))

x = + 5/2 ± √((2.5)² - 6.25)

Comments

Ich kann dir nicht folgen mit: Worauf du nicht geachtest hast ist das das erste 2.5 kein minus haben darf !!

Meinst du die - 2,5 in der Wurzel? *grübel

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Sorry. Ich war da wohl in geistiger Umnachtung :) Alles gut.

Answer 2

So habe ich gerechnet:
x_1,2=-(-5/2) ± √ [ (-5/2)² - 6,25 ]

Alles völlig richtig.

In der Lösung stand (5/2)² was dasselbe ist wie (-5/2)².

Ich würde deine Schreibweise bevorzugen.