Beweis N und R dedekind unendlich

Question

Mittels der Definition der Unendlichkeit nach Dedekind beweisen, dass N und R unendlich sind.

Als echte Teilmenge zur Abbildung auf N würden mir die durch 2 geteilten geraden Zahlen einfallen, auch wenn das etwas seltsam aussieht:

M := { x ∈ ℕ }

f: M -> ℕ , 2x/2 -> x

da ich damit gezeigt habe, dass die natürlichen zahlen unendlich sind und ich weiß, dass die natürliche und die rationalen Zahlen gleichmächtig sind, könnte ich doch einfach die Menge der natürlichen Zahlen auf die rationalen Zahlen abbilden und damit wäre auch die unenedlichkeit von R bewiesen, oder hab ich da einen Denkfehler?

M := { x ∈ ℕ }

f: ℕ -> ℝ ,  x -> x

Comments

Ups rationale mit reellen Zahlen verwechselt, der 2. Teil ist daher hinfällig

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Das lässt sich retten indem du eine injktive Abbildung von den rationalen in die reellen Zahlen findest.

Answer 1

> M := { x ∈ ℕ }  f: M -> ℕ , 2x/2 -> x

Mit dieser Festlegung ist M=ℕ und f(x) = x.

Stattdessen solltest du ein M⊂ℕ mit M≠ℕ finden.

> die durch 2 geteilten geraden Zahlen.

Verwende doch einfach die geraden Zahlen G={ n∈ℕ | ∃ m∈ℕ : n=2m }. Dann kannst du g: G→ℕ, x↦x/2 als surjektive Abbildung wählen.