Sei \(A\in M_n(\mathbb{K})\). Sei das Charakteristische Polynom \( P_A(t)= t^n+p_{n-1}t^n-1+......+p_0 \) irreduzibel. Sei v nicht der Nullvektor.
1.) Zeige das \(B= (v,Av,.....,A^{n-1}v)\) eine Basis von \(\mathbb{K}^n\) ist.
2.) sei \(f_A\) die lineare Abbildung definiert durch \(u\rightarrow Au\) für jedes \(u\in \mathbb{K}^n\). Sei die Basis B wie in 1.)
Zeige dass
3.) Seien \(A_1,A_2 \in M_n(\mathbb{K})\). sei p(t) ein irreduzibles Polynom in \(\mathbb{K}[t]\) mit
\(P_{A_1}(t)=P_{A_2}(t)=p(t)\). Dann sin \(A_1,A_2\) ähnlich.
