Beweis durch algebraische Umformungen

Question

man soll durch Umformung zeigen das  2*n tief 2 = 2*(n tief 2) + n² gilt.

Ich hab mich zwar daran probiert,renne dann aber irgendwann gegen eine Wand.

Habe nun versucht die rechte Seite in die linke zu überführen.

2*(n tief 2) + n² = 2 *  n! / (2! (n - 2)!)  + n²  = ( n-1)*n + n² = n² - n + n²  

Also entweder habe ich was zu viel, zu wenig oder ganz falsch gemacht :) .

Könnte mir vielleicht jemand auf die Sprünge helfen?

mfg

haveagoodday

Answer 1

\( \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}\) =  n! / ( k! • (n-k)! )

\( \begin{pmatrix} 2n \\ 2 \end{pmatrix}\) = (2n)! / ( 2! • (2n-2)! )  = 2n • (2n-1) / 2 = 2n² - n

2 • \( \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix}\) + n² = 2 • n! / ( 2! • (n-2)! ) = n • (n-1) + n² = 2n² - n

Gruß Wolfgang

Comments

und ich dämel hab nicht daran gedacht, die andere Seite auch zu vereinfachen :) . !

Answer 2

\( \) Versuche mal folgendes zu vervollständigen bzw. jeweils weiter zu vereinfachen:

\[ \binom{2n}{2} = \frac{2n!}{2! \cdot (2n-2)!} = \frac{2n \cdot (2n-1)}{2}= n \cdot (2n-1)=  \cdots \]

\[ 2 \cdot \binom{n}{2} + n^2= 2 \cdot \frac{n!}{2! \cdot (n-2)!} +n^2=  \cdots \]

Gruß