Gleichung mit Variabeln und Brüchen nach x auflösen: 1/(x/(x-4)) - 1/(x/(x-4) - 4) + 4/…

Question

Aufgabe:

Löse folgende Gleichungen nach x auf:

1. \( \frac { x } { 7 } - \frac { 5 - x } { 9 } = \frac { x - 15 } { 28 } + \frac { x } { 36 } \)

2. \( \frac { 1 } { \frac { x } { x - 4 } } - \frac { 1 } { \frac { x } { x - 4 } - 4 } + \frac { 4 } { \frac { x } { x - 4 } - 6 } = 0 \)

Bei der Aufgabe 1 habe ich es mit gleichnamig machen probiert indem ich erweitert habe aber ich komm hier einfach nicht mehr weiter. Ich muss irrgendwie alles auf den Zahler bringen und dann nach x auflösen. Kann mir hierbei jemand helfen?

Answer 1

Aufgabe 1)

Am besten ist es, das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner zu finden und alle vier Brüche auf diesen Nenner zu bringen: 

7

9 = 3*3

28 = 2*2*7

36 = 2*2*3*3

Also ist das kleinste gemeinsame Vielfache

7*4*9 = 252

Alle 4 Brüche auf diesen Nenner gebracht: 

36x/252 - 28*(5-x)/252 = 9*(x-15)/252 + 7x/252

Beide Seiten mit 252 multiplizieren ergibt

36x - 28*(5-x) = 9*(x-15) + 7x

36x - 140 + 28x = 9x - 135 + 7x

48x = 5

x = 5/48

Answer 2

Zur 2. Aufgabe:

ersetze u= x/(x-4)

1/u - 1/(u-4) + 4/(u-6) = 0           |*Hauptnenner

(u-4)(u-6) - u(u-6) + 4u(u-4) = 0

u^2 -10u + 24 -u^2 + 6u + 4u^2 - 16u = 0

4u^2 - 20u + 24 = 0

u^2 - 5u + 6 = 0

(u-2)(u-3) = =

u₁ = 2 = x/(x-4) ,   2(x-4) = 2, 2x - 8 = x, x₁ = 8

u₂ = 3 = x(/x-4),  3(x-4) = x, 3x - 12 = x, 2x = 12, x₂ = 6

Jetzt (zusätzlich(!) zum Nachrechnen) noch Kontrolle in der ursprünglichen Gleichung!