Konvergenz und absolute Konvergenz von Reihen

Question

Bei der a) habe ich den Leibnizkriterium angewendet. Die Folge alterniert wegen (-1)^n und sie ist eine monotone Nullfolge => Konvergent. Wie beweist man absolute Konvergenz? Könnt ihr mir bitte weiter helfen? Danke

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Erweitere mit \(\sqrt n-\sqrt{n-1}\) und stelle fest, dass es sich um eine Teleskopsumme handelt.

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Bei der b) habe ich den Wurzelkriterium benutzt. Da kommt raus 1/2 < 1, also die Reihe ist absolut konvergent. Stimmt das?

Answer 1

bei a) ist zur Untersuchung auf abs. Konv. einfach das (-1)^n wegzulassen

Dann hast du die Reihe der absoluten Beträge und das gibt die Reihe mit

den Summanden

1 / ( √n + √(n-1) )     erweitern mit ( √n - √(n-1) )  gibt

= ( √n - √(n-1) )  /  (  n -  (n-1))

=  √n - √(n-1)  und das ist die Reihe

√1 - √0  +   √2 - √1  +    √3 - √2    +   √4 - √3    etc . 

Da heben sich immer zwei miteinander auf und es bleibt am Ende

wenn das n den Wert k hat  sowas wie √k

Also geht die Folge der Partialsummen gegen unedlich,

also Reihe nicht abs. konvergent.

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Könntest du mir bitte auch bei der c) und d) helfen?