0 Daumen
381 Aufrufe

Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz:


\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}}\left(\frac{7}{5}\right)^{k} \)


\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} k^{2}\left(-\frac{5}{7}\right)^{k} \)

von

1 Antwort

0 Daumen

Aloha :)

Ich empfehle in beiden Fällen das Quotientenkriterium:$$\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=\left|\frac{ \frac{1}{(k+1)^2} \left( \frac75 \right)^{k+1}}{ \frac{1}{k^2}\left(\frac75\right)^k }\right|=\frac{k^2}{(k+1)^2}\cdot\frac75=\frac75\left(\frac{k}{k+1}\right)^2=\frac75\left(1-\frac{1}{k+1}\right)^2\to\frac75>1$$Die erste Reihe divergiert.

$$\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=\left|\frac{(k+1)^2\left(-\frac57\right)^{k+1}}{ k^2\left(-\frac57\right)^k }\right|=\frac{(k+1)^2}{k^2}\cdot\frac57=\frac57\left(\frac{k+1}{k}\right)^2=\frac57\left(1+\frac{1}{k}\right)^2\to\frac57<1$$Die zweite Reihe konvergiert.

von 128 k 🚀

Danke für deine Antwort! Könntest du mir eine Mail schicken, ich hätte nochmal eine Frage : luki6215@gmail .com

Wäre super ,Danke!

Hast, glaube ich, vergessen zu schreiben, dass die zweite nicht absolut konvergiert.

Achso, ich dachte das sei klar, sorry:

Wenn das Quotientenkriterium erfüllt ist, liegt absolute Konvergenz vor.

Mein Fehler, die Reihe ist doch absolut konvergent.

Wie bist du auf diese Umrechnungen gekommen?


\(=\frac75\left(\frac{k}{k+1}\right)^2=\frac75\left(1-\frac{1}{k+1}\right)^2\)

Wie rechnet man es für:
\( \sum \limits_{k=1}^{\infty}(-1)^{k} d_{k}, \quad \) wobei \( \quad d_{k}=\left\{\begin{array}{ll}5^{-k} & \text { wenn } k \text { gerade, } \\ 7^{-k} & \text { wenn } k \text { ungerade. }\end{array}\right. \)

@Rudi:

$$\frac{k}{k+1}=\frac{k+1-1}{k+1}=\frac{k+1}{k+1}-\frac{1}{k+1}=1-\frac{1}{k+1}$$

@Thomas:

Das ist eine neue Aufgabe. Bitte schließe diese hier ab und poste deinen letzen Beitrag als neue Frage. Dann können alle Helfer sie sehen und du bekommst schneller eine Antwort.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community