Untersuchung von Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz

Question

(a) Nullfolgenkriterium: (2/(3+(-1)^k))^k --> für gerade k = 0, für gerade k= 1  

also ist es für gerade k konvergent und für ungerade k nicht?

(b) Leibniz -> 1/³√k monoton fallend + nullfolge -> Reihe konvergiert

Betrag der reihe liefert 1/³√k > 1/k (Minorantenkriterium), 1/k divergiert, da harmonische folge, also divergiert auch 1/³√k -> reihe konvergiert nicht absolut

(c) umformen auf (1/(2+(1/k)))^k , nullfolgenkriterium liefert lim (1/(2+(1/k)))^k=0

-> konvergiert, wie untersuche ich das jetzt auf absolute konvergenz? wurzelkriterium liefert mir 1 und mit dem quotientenkriterium habe ich es auch nicht geschafft

(d) Wurzelkriterium ....->^k√k⁴/3 = k^4/k/3 = 1/3 <1, also konvergiert es

wie komme ich auf die absolute konvergenz?

Comments

Konvergente Reihen mit nur positiven Summanden sind trivialerweise absolut konvergent.

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also konvergiert d absolut? und wie geht das jetzt bei a weiter? muss ich da jetzt für alle gerade k auf konvergenz untersuchen? und ich sehe gerade, dass das nullfolgenkriterium nur ein notwendiges kriterium ist und kein hinreichendes.. wie soll ich da bei a und c jetzt vorgehen?

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Eigentlich musst du bei a kaum noch was machen außer es sauber aufzuschreiben. Du hast keine Nullfolge (da alle ungeraden Summandenfolgenglieder 1 sind), somit ist die Reihe nicht konvergent. Bei c) kannst du bspw. mit dem Majorantenkriterium arbeiten.