Lösungsmenge Gleichungssystem über dem Körper Z2

Question

ich soll über dem Körper Z2 die Lösungsmenge des folgenden linearen Gleichungssystems bestimmen:

x₁+x₃=0

x₂+x₃=1

x₁+x₂=1

Ich habe probiert das ganze mit Gauß zu lösen, erhalte hierbei jedoch eine Nullzeile und folglich unendlich viele Lösungen.

Wenn man die Gleichungen betrachtet kann es doch theoretisch nur die beiden optionen

1. x1=x3=1 und x2=0

2. x1=x3=0 und x2=1

geben oder täsuche ich mich da?

Answer 1

Unendliche viele Lösungen ist wegen Z2  (modulo 2) schon etwas übertrieben.

x₁+x₃=0       (I)

x₂+x₃=1       (II)

x₁+x₂=1         (III)

----------------

x1 - x2 = 0-1         (I) -(II)

x1 - x2 = 1    in Z2.    (IV)

x1 + x2 = 1        |  (III)

--------------------------------   +

2x1 + 0x2 = 2     in Z2 ==> 0 + 0 =0

==>

Nun einfach systematisch durchgehen, was passt:

x₁+x₃=0       (I)

x₂+x₃=1       (II)

x₁+x₂=1         (III)

(1|0|1)

(0| 1  |0)

Mehr Lösungen finde ich auch nicht.

Comments

Ja mit unendlich vielen Lösungen meinte ich nur dass ich nach den Umformungen eine Nullzeile erhalte.

Okay das deckt sich ja mit meinen Vermutungen.