Hey ich bin dein Trainer; ich erzähle dir hier Sachen, die dein Lehrer - gleich viel - nicht kennt oder dir nie erzählt hat.
Ich beginne mit der 3) weil du da schon mal das Wichtigste lernst:
" Alle kubistischen Polynome singen immer wieder die selbe Melodie. "
Diktat für Formelsammlung, Regelheft und Spickzettel ( FRS )
" Jedes kubische Polynom verläuft PUNKT SYMMETRISCH gegen seinen WP. "
D.h. du hast drei kritische Punkte; Maximum, Minimum und WP . Sind dir zwei gegeben so wie hier, genießt du den Vorteil, dass du dir den dritten schnitzen kannst; eine Geheiminfo, die der Aufgabenstellert so nie beabsichtigt hat. Aus obiger Spiegelsymmetrie folgt die Mittelwertbeziehung ; Diktat für FRS
( x | y ) ( w ) = 1/2 [ ( x | y ) ( max ) + ( x | y ) ( min ) ] ( 1a )
Ihr sollt praktisch in dem Wahn gehalten werden, dass euch jede neue Kurve wieder neue Abenteuer bietet - anders kann ich es nicht sagen. Hier das schaffst du sogar im Kopf ; da ist Formel ( 1a ) doch eher hinderlich ( " Could is plain could " , said the runaway in the highpoint )
( x | y ) ( max ) = ( - 1 | 0 ) ( 1b )
Kleiner Einschub ; " eingeschoben ist nicht eingehoben. " Aufg 2) unterscheidet sich von 3) in dem Grund legenden Punkt, dass das Maximum nicht mit einer Nullstelle zusammen fällt; ein Vorteil, den wir hier Gnaden los ausschlachten. Ich muss also nachher noch die 2) zum Vergleich gegenüber stellen ( was meiner ursprünglichen Absicht nicht entsprach ) damit du den Unterschied siehst.
Ein Extremum ist immer eine gerade Nullstelle ( doppelte, 4-fache, 6-fache usw. ) Na hier kommt ja wohl nur doppelte in Betracht:
x1;2 = ( - 1 ) ( 2a )
F ( x ) = ( x - x1 ) ( x - x2 ) ( x - x3 ) = ( 2b )
= ( x + 1 ) ² ( x - x3 ) ( 2c )
( 2c ) gibt uns das Polynom einstweilen noch in Normalform ( s.u. ) Einzige Unbekannte ist die dritte Nullstelle x3 ; ===> Ludwig Ganghofer
" Ich habe das große Wort geprägt, das für alle Zeiten das große Wort sein und bleiben wird: "
" Wer in Hausaufgaben mehr wie zwei Unbekannte investiert, lebt verkehrt. "
Jetzt muss ich wieder einen Punkt ansprechen, den eure Lehrer sträflich vernachlässigen.
Für 3. Grad berechnet den WP um Himmels Willen nicht mit Hilfe der 2. Ableitung; de Frankfotter sescht ja in seiner typischen Respektlosigkeit
" Mer kann sisch aach uff de Kopp stelle unn mit die Baa ( Beinen ) Micke fange. "
" Mer kann sisch aach en Loch ins Knie bohrn unn drin Kaffee koche. "
Du gehst immer aus von der Normalform ( 2bc ) ; deshalb hab ich das nämlich gemacht. Diktat für FRS
x ( w ) = - 1/3 a2 ( 3a )
Ihr seid ja eh Meister aller Klassen, wenn's ans Klammern Auflösen geht; trotzdem könnte man es ja mal mit dem Satz von ===> Vieta versuchen.
a2 = - ( x1 + x2 + x3 ) = 2 - x3 = - 3 x ( w ) = ( - 3 ) ===> x3 = 5 ( 3b )
( Wer es nicht gleich sieht; in ( 3b ) wurde ( 3a verwendet so wie die Info aus deiner Aufgabe. )
F ( x ) = ( x + 1 ) ² ( x - 5 ) ( 4a )
Die faktorisierte Form ( 4a ) eignet sich eindeutig besser zum Rechnen; trotzdem musst du ja als Ergebnis die ausmultiplizierte Form abliefern; Vieta says
a2 = - 3 x ( w ) = ( - 3 ) ( 3b ) ( kannten wir schon )
a0 = - x1 x2 x3 = ( - 5 ) ( 4b )
a1 = ( x1 + x2 ) x3 + x1 x2 = ( - 9 ) ( 4c )
F ( x ) = x ³ - 3 x ² - 9 x - 5 ( 4d )
Hier sag selbst; ist diese Präsentation nicht elefantös? Erstens habe ich keine einzige Ableitung bemüht
" Hier was da noch für Luft drin ist. "
Und zweitens habe ich quasi im Nebenberuf neben der Lösung der Steckbriefaufgabe noch die Kurve diskutiert, wovon ja - rein psychologisch muss man das wohl unterstellen - der Aufgabensteller in seinem Unverstand fordert, du müsstest die Kurvendiskussion ( KD ) im Anschluss an die eigentliche Lösung machen. Meine unmaßgebliche Erfahrung: Immer so viel KD wie irgend möglich nach Vorne ziehen so wie hier ( So lange es der Übersicht nicht abträglich ist. )
Was wir eigentlich suchen, ist ja nicht F ( x ) in ( 4ad ) sondern
f ( x ) =: k F ( x ) ( 5a )
Jetzt auf einmal verstehst du mich, warum ich immer sage
" k , der ===> Leitkoeffizient ( LK ) ist die schönste Nebensache der Welt. "
" Der LK zählt gar nicht als ganze, sondern nur als halbe Unbekannte. "
Berechnen wir doch den WP durch Einsetzen von x = 1 in ( 4d )
F ( w ) = ( - 16 ) ; f ( w ) = ( - 4 ) ===> k = 1/4 ( 5b )
f ( x ) = 1/4 x ³ - 3/4 x ² - 9/4 x - 5/4 ( 5c )
Was will ich von dir?
Ganz bestimmt nicht, dass du mich bewunderst. Sondern besser machen - wie beim Sudoku. Dem Mathecoach ist das auch einmal gelungen; ganz stolz trällerte er " Tadaah !!! "
Wie ich schon sagte. Aufg 2) unterscheidet sich lediglich darin, dass wir haben
( x | y ) ( max ) = ( 0 | 5 ) ( 6a )
Was tun sprach Zeus? Im Grunde hast du mit dieser Symmetrie doch schon beide Linearfaktoren ( LF ) der ersten Ableitung beisammen.
f ' ( x ) = k x ( x - 2 ) = ( 6b )
= k ( x ² - 2 x ) ( 6c )
Und jetzt ist " Aufleiten " angesagt ===> Integral ===> Stammfunktion. Selbst wenn du dich jetzt auf den Standpunkt stellst, ihr " habt das noch nicht gehabt " - du wirst doch den Weg schaffen von f ' ( x ) nach f ( x )
f ( x ) = k ( 1/3 x ³ - x ² ) + C ( 7a )
C ist die ===> Integrationskonstante; mit Nwbwenbedingung ( 6a ) ergibt sich C = 5 .
( Ich schicke erst mal ab. )
