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ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe:

Die Folge {an}n∈N sei definiert durch a1 = 0 , an+1 = (an /3 )  − 1 

Wie kann ich hier per vollständiger Induktion zeigen, dass an ≥ −9 und dass an+1 − an ≤ 0 fur alle n ∈ N gilt?


Grüße

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Bisher musste ich nämlich immer an einer Funktion die vollständige Induktion durchführen, da hatte ich auch keine Probleme mit. Aber ich verstehe irgendwie nicht ganz, wie man das jetzt auf Ungleichungen übertragen kann. Muss man hier auch einfach nur für an = an+1 einsetzen?

Falls \(a_n>-\frac32\) gilt, dann ist \(a_{n+1}=\frac13a_n-1>\frac13\cdot\left(-\frac32\right)-1=-\frac32\).
\(a_{n+1}-a_n=\frac13a_n-1-a_n=-\frac23a_n-1<\left(-\frac23\right)\cdot\left(-\frac32\right)-1=0\).

Aber in meinem Fall wird die Folge an ja immer kleiner, wäre in deinem Bespiel dann an+1 trotzdem größer als (1/3)*(-3/2)-1  ?

Die Folge ist nach unten durch \(-\frac32\) beschränkt und monoton fallend.

Achso, also könnte ich in meinem Beispiel sagen:

an>= -9, dann muss an+1 auch >=-9..eingesetzt in an+1 kommt dann -4 heraus, was die Aussage richtig macht.

Ist das soweit richtig?

Beim zweiten Teil komme ich aber irgendwie nicht weiter. (-2/3)*(-9)-1=5 und das ist nicht kleiner gleich 0, oder habe ich irgendetwas übersehen? 

Oh ich merk gerade, dass die -3/2 für die Aufgabe gelten. Sorry!! Ich dachte du hast nur ein Beispiel gebracht. Leider soll ich erst bei der zweiten Teilaufgabe die Beschränkheit beweisen, ich glaub die wollen einen anderen Weg sehen, obwohl ich deinen sehr logisch finde.

Gibt es vielleicht noch andere Art das zu lösen?

Zu zeigen ist, dass die Folge nach unten beschränkt ist. Ein Induktionsbeweis dazu befindet sich oben in Kurzform.

1 Antwort

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Die Folge {an}n∈N sei definiert durch a1 = 0 , an+1 = (an /3 )  − 1 

Wie kann ich hier per vollständiger Induktion zeigen, dass an ≥ −9 und dass an+1 − an ≤ 0 fur alle n ∈ N gilt?

zu an ≥ −9 fur alle n ∈ N:

für n=1 ist es wahr.
sei es wahr für n, dann gilt
   an+1 = (an /3 )  − 1      ≥  (-9 /3 )  − 1  = -4  > -9 also ist dann auch an+1  ≥ −9.
Avatar von 287 k 🚀

Danke für die Antwort. Könntest du mir noch sagen, warum an+1-an<=0 ist?

wie in dem 2. und 3. Kommentar gezeigt.

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