Integrale mit Partialbruchzerlegung

Question

mir bereiten zwei Integrale Kopfzerbrechen. Zum ersten :

$$-4*\int { \frac { { x }^{ 3 } }{ 1+{ x }^{ 4 } } dx }$$

Also ich glaube schinmal dass ich dass mit ner Partialbruchzerlegung läsen muss. 1+x⁴ hat ja wenn mich icht alles täuscht nur 2 komplexe NST i und -i. Nur leider hat unser Prof uns kein Beispiel mit komplexen NST gezeigt und im Inter steht dass mit mehreren Varianten. Wäre cool wenn mir einer nen Tipp geben könnte :)

und zu Zweiten:

$$\int { \frac { -x }{ 1+{ x }^{ 4 } } dx }$$

Hier muss ich ehrlich sein hab ich noch so gar keine Idee. Der online Rechner spuckt mir -1/2*arctan(x²)+c aus, aber keine Ahnung wie der dadrauf kommt .

Answer 1

Das erste:   Bedenke: Der Zähler ist (fast) die Ableitung des Nenners.

und wenn du die 4 von - 4 reinziehst ist es

- Integral   4x³ / ( 1 + x⁴ ) dx =  - ln ( 1 + x⁴ ) + C.

Das 2.:

Dann mach mal eine Substitution   z = x² .

und bedenke    arctan(z) ist eine Stammfunktion für  1 / ( 1 + z² ).

Answer 2

1. Aufgabe:

Substituiere z= x⁴+1 und Du bist fast fertig , geht ohne PBZ

2. Aufgabe:

Substituiere z=x² und bekommst das Arctan- Grundintegral und bist fast fertig.